1.Элементы линейной алгебры.

1.1.Матрицы и определители 2-го порядка

.

Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными х₁ и х₂:

Коэффициенты при неизвестных здесь обозначены а_ij , где i- номер уравнения j- номер неизвестного при котором стоит данный коэффициент, в₁ и в₂ – свободные члены. Указанные величины, полностью определяющие систему, можно свести в следующие таблицы чисел, заключенные в круглые скобки:

, , , которые называются матрицами.

А-главная матрица системы, В-матрица-столбец свободных членов, Х-матрица-столбец неизвестных. Для квадратных матриц, т.е. матриц у которых число строк равно числу столбцов, в математике вводится важная числовая характеристика, которая называется определителем.

Определение. Определителем квадратной матрицы А называется число, которое обозначается |А|=∆= и вычисляется по формуле =а₁₁а₂₂ –а₂₁а₁₂.

Покажем, как можно использовать определители для решения систем линейных алгебраических уравнений. Будем решать систему методом исключения неизвестных. Для того чтобы исключить из системы уравнений неизвестное , умножим первое уравнение системы на а_{22 ,} а второе на (-а₁₂) и сложим эти уравнения. Аналогично исключаем неизвестное . После элементарных алгебраических преобразований, получим легко решаемую систему уравнений эквивалентную данной:

Заметим, что при неизвестных х₁ и х₂ один и тот же коэффициент ∆ - определитель главной матрицы А исходной системы уравнений, а справа стоят определители второго порядка и , которые получаются из ∆ заменой соответственно первого и второго столбца столбцом свободных членов.

В указанных обозначениях, преобразованная система уравнений (эквивалентная данной!) записывается в виде

, и если 0, то решение системы: , .

Таким образом, мы не только познакомились с матрицами и определителями второго порядка, но и вывели, так называемое, правило Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера. Если главный определитель системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) не равен нулю , то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

, здесь определители получаются из главного определителя системы заменой i-го столбца на столбец свободных членов

Пример. Решить систему уравнений

Решение. Главная матрицы системы . Определитель матрицы

.

Вычислим вспомогательные определители:

.

Так как главный определитель системы , то по правилу Крамера система имеет единственное решение, которое определяется формулами:

.

Ответ .

1.2 Матрицы

Определение. Матрицей порядка mxn (m на n) назовем таблицу чисел из m строк и n столбцов. Числа называются элементами матрицы. Первый индекс - номер строки, а второй индекс - номер столбца на пересечении которых лежит этот элемент. Матрицу обычно записывают как таблицу чисел в круглых скобках

Матрицы обозначают также .

По своим размерам и составу элементов обычно выделяют следующие виды матриц, названия которых часто говорят сами за себя

1. Матрица – строка – это матрица, состоящая из одной строки .

2. Матрица- столбец - это матрица, состоящая из одного столбца .

3. Нулевая матрица – все элементы матрицы равны 0.

4. Квадратная матрица – число строк равно числу столбцов : .

У квадратной матрицы выделяют главную диагональ, т.е. элементы и побочную диагональ- .

5. Единичная матрица, которая обозначается обычно буквой . Это квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю.

6. Верхняя треугольная матрица - квадратная матрица, у которой все элементы стоящие ниже главной диагонали равны нулю.

7. Нижняя треугольная матрица - квадратная матрица, у которой все элементы стоящие выше главной диагонали равны нулю.

.

8. Если строки матрицы сделать ее столбцами (таким образом столбцы станут строками), то получим матрицу, которая называется транспонированной к матрице и обозначается .Если размер А- m n, то размерность матрицы А^Т - n m. Например, если транспонировать матрицу-столбец , то ^Т- это будет матрица – строка с теми же элементами!