7.2. Предел и непрерывность
Определение.
-
окрестностью точки
называется множество точек
координаты
которых удовлетворяют неравенству
.
Для плоскости это будет внутренность
круга радиуса
,
а для пространства – внутренность
шара радиуса
с центром в точке
.
Определение. Число
называется пределом функции
при
,
если для любого
существует
>0,
такое что для всех точек
,
принадлежащих
-
окрестности точки
,
(кроме быть может самой точки
)
выполняется неравенство
.
В этом случае пишут
.
Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, включая саму точку , и
.
7.3. Частные производные функции нескольких переменных
Пусть функция
определена в некоторой окрестности
точки
.
Дадим переменной
произвольное приращение
,
оставляя переменную
без
изменения, тогда функция получит
приращение
Определение. Частной производной
функции
по
переменной
в точке
называется
предел отношения приращения
к вызвавшему его приращению аргумента,
когда
.
Для частных производных используется
ряд эквивалентных обозначений:
Аналогично вводится понятие частной
производной
по переменной
.
Итак,
;
.
Таким образом, частная производная – это известная нам производная по одной из переменных, в предположении, что остальные переменные фиксированы (постоянны). Такой подход к частным производным позволяет нам без труда находить любую частную производную, используя известные нам правила дифференцирования функций одной переменной.
Пример 1. Вычислить частные производные
функции
Решение.
- при вычислении считали
постоянной
величиной и использовали правила: а)
константа выносится за знак производной
-
б) производная константы равна нулю.
Аналогично получаем
.
Пример 2. Вычислить частные производные
функции
.
Решение.
Пример 3. Вычислить частные производные
функции
.
Решение.
7.4. Дифференциал функции нескольких переменных
Полным приращением функции
в
точке
называется величина
.
Если полное приращение можно представить,
в некоторой достаточно малой окрестности
точки
,
в виде
,
то функция
называется дифференцируемой в точке
,
а линейную часть приращения называют
полным дифференциалом и
записывают в виде:
.
Для функций нескольких переменных такое представление возможно, если частные производные функции непрерывны в некоторой окрестности точки .
Если функция зависит от переменных , то дифференциал имеет аналогичный вид:
.
Пример. Найти дифференциал функции
.
Решение. Найдем частные производные:
Тогда дифференциал функции равен:
7.5. Частные производные второго порядка
Частные производные
и
функции
сами являются функциями двух переменных
определенных в точках некоторого
множества, и можно поставить вопрос о
нахождении частных производных по
переменным
и
от этих функций, которые называются
частными производными второго порядка.
- частная производная второго порядка
по
.
- смешанная частная производная по
.
- смешанная частная производная по
.
-
частная производная второго порядка
по
.
Аналогично определяются и частные производные более высоких порядков.
Пример. Найти частные производные
второго порядка для функции
.
Решение. Вычисляем частные производные
и
.
Тогда
,
.
Замечание. В приведенном примере,
совпадение смешанных частных производных
не случайно. Можно доказать, что для
всех функций с непрерывными частными
производными до второго порядка
включительно, а это все практически
интересные функции, выполняется
равенство
.