
- •Высшая математика
- •Часть 1
- •Предисловие
- •1.Элементы линейной алгебры.
- •1.1.Матрицы и определители 2-го порядка
- •1.2 Матрицы
- •1.3. Определители третьего и более высоких порядков
- •1.4. Свойства определителей
- •1.5. Линейные операции над матрицами
- •1.6. Умножение матриц
- •1.7. Обратные матрицы
- •1.8. Ранг матрицы
- •2. Системы линейных алгебраических уравнений - слау
- •2.1 Основные определения
- •2.2. Матричный метод решения невырожденных систем
- •2.3. Правило Крамера для решения невырожденных систем
- •2.4. Решение произвольных систем
- •2.5. Однородные системы линейных уравнений
- •3. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
- •3.1. Векторы
- •3.2 Линейная зависимость и независимость
- •3.3. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой
- •3.4 Уравнение прямой с угловым коэффициентом и некоторые другие уравнения прямой на плоскости
- •3.5. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •3.6. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- •3.7. Уравнения плоскости в пространстве
- •3.8. Прямая в пространстве
- •3.9. Системы линейных неравенств
- •4. Пределы
- •4.1. Множества, операции над множествами
- •4.2. Предел функции
- •4.3. Основные теоремы о пределах
- •4.4. Непрерывность функции и вычисление простейших пределов
- •4.5 Раскрытие неопределенностей
- •4.6. Замечательные пределы
- •5. Производная и дифференциал.
- •5.1. Определение производной функции
- •5.2. Основные правила вычисления производных.
- •5.3 Таблица производных основных элементарных функций
- •5.4. Примеры вычисления производных.
- •5.5. Дифференциал функции
- •5.6. Связь производной и дифференциала.
- •5.7. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей
- •6. Приложения производной.
- •6.1. Монотонность, экстремумы
- •6.2. Выпуклость
- •6.3. Асимптоты графика функции
- •6.4 Полное исследование функции и построение её графика.
- •6.5. Наименьшее и наибольшее значения функции
- •6.6 Экономическая интерпретация первой производной (предельный анализ)
- •6.7 Эластичность функций
- •7. Функции нескольких переменных
- •7.1. Основные определения.
- •7.2. Предел и непрерывность
- •7.3. Частные производные функции нескольких переменных
- •7.4. Дифференциал функции нескольких переменных
- •7.5. Частные производные второго порядка
- •7.6. Производная по направлению и градиент
- •7.7. Экстремум функции двух переменных
- •Вопросы к зачету
- •Тема 1. Матрицы и определители
- •Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Тема 3. Векторы, n-мерное векторное пространство
- •Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •Тема 5. Предел и непрерывность функции
- •Тема 6. Производная и дифференциал
- •Тема 7. Приложения производной
- •Тема 8. Функции нескольких переменных
- •Задачи и примеры для подготовки к зачету
- •Контрольная работа № 1
- •Требования по оформлению контрольной работы
- •Рекомендуемая литература основная
- •Дополнительная
- •Содержание
- •1.Элементы линейной алгебры. 4
- •Высшая математика
- •Часть 1
6.7 Эластичность функций
Одна из важнейших задач любого бизнеса – установление связи между изменениями цены на реализованную продукцию и доходом. Если фирма повышает цену на единицу продукции, это уменьшает объем продаж. Интуитивно понятно, что здесь важны не абсолютные изменения цены и количества продукции, а относительные, или, как говорят, процентные (есть разница - повысить цену на 1 руб., если исходная цена была 1000 руб. и если она была 1 руб.!). Для характеристики этих взаимоизменений в экономике вводится такое понятие как эластичность.
Если кривая спроса – это функция
,
где Р- цена единицы продукции, а Q
– ее количество, то эластичность
спроса от цены определяется как
отношение:
=
.
Сокращая общий
множитель 100%, окончательно получаем
. Вычисленная таким образом эластичность,
называется дуговой эластичностью,
т.е. средней на соответствующем участке
кривой спроса
Переходя, как обычно, к пределу при
,
мы получаем выражение для точечной
эластичности.
.
Эластичность
спроса по цене, в данном случае, отражает,
насколько процентов изменится спрос,
если цена на товар изменится на 1%,и
часто обозначается
.
Поскольку,
кривая спроса
–
функция убывающая, то
,
и в исследованиях, эластичность спроса
от цены обычно берется по модулю, т.е.
рассматривается ее положительное
значение.
В
зависимости от численных значений
модуля эластичности спроса по цене
различают товары эластичного и
неэластичного спроса. В первом случае
– эластичный
спрос -
повышению цены на 1% соответствует
понижение спроса более чем на 1%, а
понижение цены на 1% приводит к росту
покупок более чем на 1%, модуль эластичности
.
Во-втором случае – неэластичный
спрос – повышение
цены на 1% влечет за собой понижение
спроса менее чем на 1%, а уменьшение
цены на 1% приводит к росту покупок менее
чем на 1% , модуль эластичности
.
Аналогично вводятся эластичности других экономических функций.
Пример.
Найти эластичность
спроса по цене при Р=2,
если функция спроса имеет вид
.
Решение.
Ищем производную от функции
,
.
Тогда
эластичность спроса по цене равна
. При Р=2
получаем
.
Это означает, что если цена возрастет
на 1%, то спрос на товар уменьшится на
0,15%, то есть спрос
неэластичный.
7. Функции нескольких переменных
7.1. Основные определения.
Во многих практических задачах
изучаемая величина зависит от многих
факторов, принимающих некоторые числовые
значения, которые, в общем случае, можно
обозначить
.
Задачи подобного рода наталкивают на
мысль об изучении функций, зависящих
от нескольких переменных.
Определение. Если задан закон, по
которому каждому упорядоченному набору
чисел
из некоторого множества Х ставится
в соответствие единственное действительное
число
,
то говорят, что на множестве Х задана
функция
переменных, при этом пишут:
.
. Множество Х называется областью
определения функции
,
а множество значений
.
Если числа
считать координатами некоторой точки
,
то функция нескольких переменных будет
функцией этой точки и записывается
.
Такая обобщенная запись позволяет
изучать свойства функций независимо
от количества переменных. Более того,
основные свойства функции двух
переменных, как наиболее простой
аналитически и геометрически, естественным
образом распространить на функции
большего количества переменных. Поэтому
далее мы будем рассматривать, в основном,
функции двух и трех переменных.
Наиболее наглядна интерпретация функции
для случая двух переменных. В этом
случае
- точка плоскости, и в соответствии с
общепринятыми обозначениями, функция
записывается в виде
(в случае трех переменных -
).
Областью определения функции
,
является некоторое множество точек
плоскости; для функции трех переменных
– множество точек пространства.
Например, областью определения функции
будет множество точек координаты
которых удовлетворяют неравенству
.
Достаточно легко определить, что это
первая и третья координатные четверти,
включая оси координат.
Важной геометрической характеристикой
функций двух и трех переменных являются
линии и поверхности уровня. Линией
уровня функции двух переменных
называется
множество точек плоскости в которых
эта функция принимает одно и тоже
значение, уравнение линий уровня
,
где
.
Аналогично, уравнение поверхностей
уровня
.