Случайные, систематические и грубые ошибки
Под случайными понимают ошибки, значения которых меняются от одного измерения к другому. Они являются следствием случайных ошибок контрольно – измерительных приборов, случайных ошибок экспериментатора, неточных соблюдений методики измерения, непостоянством самой контролируемой величины. Для количественной оценки случайных ошибок применяют математический аппарат теории вероятностей и математической статистики.
Наиболее полно случайные ошибки могут быть оценены функцией их распределения, получаемой многократными наблюдениями с последующей статистической обработкой полученных экспериментальных данных.
Отличие систематических ошибок от случайных состоит в том, что их значение остается постоянным при проведении серии однотипных измерений; причины их возникновения известны, следовательно, они могут быть исключены из окончательного результата, если их величина предварительно определена. К систематическим ошибкам можно отнести ошибки эталонов, по которым проградуированы контрольно – измерительные приборы, систематические ошибки, связанные с принятой методикой измерения (например, ошибки, возникшие вследствие неучета температурных поправок, применения приближенных формул расчета и т.д.), “личные ошибки” экспериментатора, т.е. присущие данному лицу и др. Различают также постоянные (неизменные во времени) и прогрессирующие (возрастающие или убывающие во времени) систематические ошибки.
Грубые ошибки (промахи) являются результатом нарушения условия и процесса измерений. Их характерным признаком является резкое отличие от результатов предшествующих измерений. Повторение эксперимента (если это возможно) является наиболее надежным, достоверным и эффективным способом обнаружения грубых ошибок.
Современные математические методы обработки результатов эксперимента базируется на вероятностном подходе и предполагают, что ошибки измерения являются случайными. При этом предполагается, что к началу этой обработки все грубые и систематические ошибки выявлены и устранены.
Рассмотрим практические методы исключения грубых ошибок, если их не удалось исключить в процессе проведения экспериментов.
Методы исключения резко выделяющихся результатов эксперимента
1. Критерий Романовского.
Имеется упорядоченный статистический ряд измеренных значений случайной величины x: x1, x2, …, xi, …, xn.
Здесь: х1 или хn – значения, которые вызывают сомнения (резко отличаются от остальных значений);
n – объем выборки.
Сущность критерия:
а)
вычисляется
,
где
- резко выделяющее значение, в качестве
которого взято значение
или
;
и
- выборочные значения математического
ожидания и среднего квадратического
отклонения, вычисленные без значения
(при объеме выборки n-1);
б)
определяется
из табл. 1.
Таблица1
Табличные значения критерия Романовского
|
tтабл. при n-1 |
||||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
20 |
30 |
40 |
60 |
|
||||||||||||
0.01 |
78 |
11.5 |
6.5 |
5 |
4.4 |
4 |
3.7 |
3.5 |
3.4 |
2.9 |
2.8 |
2.7 |
2.7 |
2.6 |
|||||||||||
0.02 |
39 |
8 |
5.1 |
4.1 |
3.6 |
3.4 |
3.2 |
3.1 |
3 |
2.6 |
2.5 |
2.5 |
2.4 |
2.3 |
|||||||||||
0.05 |
15.6 |
5 |
3.6 |
3 |
2.8 |
2.6 |
2.5 |
2.4 |
2.4 |
2.2 |
2.1 |
2.0 |
2.0 |
2.0 |
|||||||||||
в) сравнивается tрасч. и tтабл.
Если tрасч. > tтабл., то с вероятностью P=1- значение x1 или xn статистического ряда не принадлежит к рассматриваемой совокупности СВ X.
Пример. При изучении технологического процесса изготовления электронного средства при n-1 независимых равноточных измерениях некоторой физической величины было получено среднее значение, равное m = 8.6 и среднее квадратическое значение S = 0.121. Известно также, что n измерение дало результат x* = 8.923. Необходимо выяснить с вероятностью P = 0.98, является ли этот результат грубой ошибкой, если n=61.
Решение.
Вычислим
.
Из табл.1 tтабл. ( = 0.02;60) 2.4. Поскольку 2.67>2.4, то этот означает, что измерение x* = 8.923 содержит грубую ошибку с вероятностью 0.98.
Вопрос решался бы иначе, если бы, например, число приемлемых измерений в результате эксперимента равнялось 10. В этом случае по табл.1 имеем tтабл. ( = 0.02;10) = 3.0. Поскольку 2.67 < 3.0, то исключать x* = 8.923 не следует.
2.
Критерий Ирвина.
Сущность
критерия:
а) вычисляется расч.
по упорядоченному статистическому ряду
по формуле:
- если вызывает сомнение значение xn
или
- если вызывает сомнение значение x1
;
б) определяется
из табл.2.
Таблица 2.
|
расч. при n |
||||||||
2 |
3 |
10 |
20 |
30 |
50 |
100 |
400 |
1000 |
|
0.1 |
2.3 |
1.8 |
1.2 |
1.0 |
1.0 |
0.9 |
0.8 |
0.7 |
0.6 |
0.05 |
2.8 |
2.2 |
1.5 |
1.3 |
1.2 |
1.1 |
1.0 |
0.9 |
0.8 |
0.01 |
3.7 |
2.9 |
2.0 |
1.8 |
1.7 |
1.6 |
1.5 |
1.3 |
1.2 |
0.005 |
4.0 |
3.2 |
2.3 |
2.0 |
1.9 |
1.8 |
1.6 |
1.5 |
1.4 |
в) сравнивается расч. и табл.
Если расч. > табл., то с вероятностью P = 1- значение x1 или xn относится к резко выделяющемуся значению, и оно исключается при статистической обработке результатов эксперимента.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое генеральная совокупность и выборка изделий ?
2. Какие оценки называются состоятельными, несмещенными и эффективными ?
3. Как строится гистограмма ?
4. Назовите характеристики положения и рассеяния случайных величин.
5. В чем заключается сущность проверки гипотезы о равенстве средних с помощью критерия Стьюдента ?
6. Сущность критерия Колмогорова.
7. Сущность критерия Пирсона.
8. Понятия случайных, систематических и грубых ошибок.
9. Критерий Романовского.
10. Критерий Ирвина.