2.3. Дисперсионный анализ

При оценке результатов эксперимента, когда на показатели качества электронных средств влияют качественные факторы (тип технологической установки или линии, оператор, время изготовления, партия сырья и др.), широкое применение нашел дисперсионный анализ (ДА).

Основу ДА составляет положение о том, что значимость некоторого фактора x характеризуется его вкладом в дисперсию показателя качества y изделия. ДА заключается в разложении общей дисперсии показателя качества y, полученной при варьировании факторов x₁, x₂, …,x_k на N уровнях, на составляющие, зависящие от:

• случайных причин;

• каждого из факторов;

• взаимодействия факторов,

и оценки статистической значимости дисперсий этих составляющих с учетом ошибки эксперимента.

ДА базируется на следующих допущениях:

1) показатель качества изделия y, для которого требуется определить влияние независимых факторов x₁, x₂, …,x_k, представляет собой распределенную по нормальному закону случайную величину с математическим ожиданием и дисперсией ;

2) дисперсия единичного наблюдения, обусловленная случайными ошибками, постоянна во всех опытах и не зависит от факторов x₁, x₂, …,x_k, т.е. равны между собой, а их выборочные оценки однородны, что является условием воспроизводимости эксперимента.

Общая постановка и решение задачи да

Требуется оценить влияние фактора x на фоне случайных причин, когда дисперсия воспроизводимости эксперимента известна. При варьировании фактора x на N качественных уровнях получим ряд значений показателя качества y₁, y₂, …, y_n, рассеяние которых характеризуется выборочной дисперсией . Если отличие от незначимо, то разброс наблюдений связан только со случайными причинами и не зависит от влияния фактора x. Если же отличие значимо, то разброс наблюдений вызван не только случайными причинами, но и влиянием фактора x.

Когда дисперсия воспроизводимости неизвестна, то проводится n дублирующих опытов при каждом из возможных уровней фактора x. После этого находится оценка генеральной дисперсии воспроизводимости .

Различают однофакторный, двухфакторный и многофакторный ДА. Рассмотрим подробно сущность ДА при действии на показатель качества изделия одного фактора.

Однофакторный да

Результаты эксперимента представлены в виде табл. 11.

Таблица 11

Матрица однофакторного ДА

Номер q–го уровня фактора x	Дублирующие (повторные) опыты (j = 1, 2, …, n)
	1	2	…	j	…	n
1	y11	y12		y1j		y1n
2	y21	y22		y2j		y2n
q	yq1	yq2		yqj		yqn
N	yN1	yN2		yNj		yNn

Из данных табл. 11 находим:

1. средние арифметические из n повторных опытов для каждого q –го уровня фактора x

;

2) общее среднее арифметическое всех наблюдений (по всем N уровням при их повторении n раз)

.

В соответствии с сущностью ДА разложим сумму квадратов отклонений наблюдений от общего среднего арифметического на две составляющие суммы, одна из которых характеризует влияние фактора случайности, а вторая – фактора x:

,

так как .

как сумма отклонений q-ой серии повторных опытов от среднего той же серии.

В выражении для U:

- сумма квадратов отклонений внутри серии повторных опытов. Характеризует действие фактора случайности;

- сумма квадратов отклонений между сериями повторных опытов. Характеризует действие фактора x.

Далее вычисляются:

• несмещенная общая оценка дисперсии воспроизводимости эксперимента по всем наблюдениям:

с числом степеней свободы ;

• выборочная дисперсия внутри серий с числом степеней свободы ;

• выборочная дисперсия между сериями с числом степеней свободы .

Проверка значимости влияния фактора x на показатель качества y производится с помощью критерия Фишера:

• вычисляется ;

• находится

• сравнивается и . Если , то с вероятностью влияние фактора x считается значимым.

Пример. В результате семикратного измерения удельной емкости образцов анодной алюминиевой фольги для электролитических конденсаторов с использованием экспресс – способа (способ измерения 1) и на измерительной установке (способ измерения 2) получены значения (табл. 12).

Таблица 12

Отклонение удельной емкости образцов анодной

алюминиевой фольги

Способ измерения	Удельная емкость образцов (y), мкф / дм2
	1	2	3	4	5	6	7
1	9.12	9.30	8.20	10.50	9.80	8.50	10.20
2	8.34	8.58	8.18	8.42	8.66	8.26	8.50

Считая, что образцы фольги принадлежат одному рулону, заформованному на одной установке при постоянных технологических режимах, требуется оценить влияние способов на результаты измерения.

q = 1,2 ; N = 2 ; j = 1, 2, …, 7 ; n = 7.

Вычисляем среднее арифметическое и общее среднее арифметическое :

, ;

;

.

Находим суммы квадратов:

;

.

Вычислим дисперсии:

; .

Тогда: ;

.

Так как , то с вероятностью 0.95 влияние способа измерения признается значимым, т.е. они имеют разные систематические ошибки.

При двухфакторном ДА оценивается влияние на показатель качества y не только каждого из факторов x₁ и x_2, но и их взаимодействия x₁ x₂. Математический аппарат двухфакторного и многофакторного ДФ рассмотрен в [7].

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Назовите аксиомы метода экспертных оценок.

2. От чего зависит выбор величины наименьшей допустимой численности экспертов?

3. Алгоритм метода экспертных оценок.

4. Сущность метода начальных моментов.

5. Алгоритм метода начальных моментов.

6. Основы и допущения дисперсионного анализа.

7. Общая постановка и решение задачи дисперсионного анализа.

8. Сущность однофакторного дисперсионного анализа.