Hормальный закон распределения (hзр)

HЗР - наиболее часто встречающийся на практике вид распределения.

Анализ общих условий возникновения HЗР показывает, что если отклоне­ние параметра y от номинального значения вызвано действием достаточно боль­шого числа К независимых или слабо зависимых факторов х_i

и среди К факторов нет явно превалирующих над остальными, то закон распреде­ления параметра y при увеличении К стремится к нормальному. Причем закон распределения факторов х_i может быть любым. Это утверждение является следст­вием центральной предельной теоремы теории вероятностей (теоремы Ляпунова).

Для HЗР:

Из выражения для функции распределения F(x) можно найти вероятность нахождения непрерывной СВ в пределах значений х₁ и х₂:

,

где - нормированная функция Лапласа. Значения табулированы [7, 8].

Из приведенного выражения можно вычислить вероятность нахождения СВ Х в пределах: ±S; ±2S; ±3S.

Они равны соответственно: 0,683; 0,955; 0,9973.

Практически рассеяние СВ, подчиненной HЗР, находится в пределах m(x)±3S(x), т.к. вероятность попадания ее за пределы этого участка очень мала (0,0027), т.е. такое событие можно считать почти невозможным. Отсюда следует правило "трех сигм": если СВ имеет HЗР, то отклонение ее значений от мате­матического ожидания по абсолютной величине не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения.

1.3. Числовые характеристики случайных величин Характеристики положения

1) Математическое ожидание - среднее значение СВ в генеральной сово­купности. Оно характеризует центр распределения СВ Х.

Статистическое значение математического ожидания вычисляется по фор­муле

.

2) Медиана Ме - значение СВ, которое делит упорядоченный ряд стати­стических данных на две равные по объему группы.

Если в упорядоченном ряде нечетное 2к+1 число значений статистических данных, то значение x_К+1 = Ме.

Если в упорядоченном ряде четное 2к число значений статистических дан­ных, то значение

.

3) Мода Мо - значение СВ, которое наиболее часто встречается в наблю­даемом ряде статистических данных. Бывают двумодальные и многомодальные распределения.

Характеристики рассеяния

1) Размах R статистических данных

.

2) Центр интервала статистических данных (x_ср.)

.

3) Дисперсия - математическое ожидание квадрата отклонения СВ от сред­него значения. Она характеризует степень рассеяния СВ от среднего значения.

Статистическое значение дисперсии вычисляется по формуле

.

4) Среднеквадратическое отклонение (S)

.

5) Коэффициент вариации (V). Характеризует рассеивание СВ в относи­тельных единицах.

.

1.4. Статистическая проверка гипотез

Под статистическими понимают гипотезы, которые относятся к отдельным параметрам закона распределения СВ или к самому закону распределения.

В теории простых гипотез проверяемую гипотезу обозначают через H₀ и назы­вают ее нулевой гипотезой. Конкурирующую гипотезу называют альтернатив­ной и обозначают H₁.

Гипотеза о равенстве дисперсий

Берутся две выборки изделий объемом n₁ и n₂. У изделий контролируется параметр Х и вычисляются значения .

Hулевая гипотеза H₀ : .

Альтернативная - H₁ : .

При HЗР параметра Х для проверки гипотезы H₀ используется F - критерий Фишера. Для этого:

а) вычисляется при

(1)

или при ;

б) определяется табличное значение F_табл.

при ;

при ,

где  - уровень принимаемого решения; ;

в) сравниваются F_расч. и F_табл.

Если F_расч<F_табл., то гипотеза о равенстве дисперсий в двух выборках справедлива с вероятностью .

Если F_расч.F_табл., то с вероятностью верна гипотеза H₁.