3.3.3. Дробный факторный эксперимент.

При большом числе исследуемых факторов ПФЭ становится неэффективным, так как число опытов с ростом k увеличивается по показательной функции (N = 2^k). Однако при этом снижаются ошибки в определении коэффициентов ММ, так как все опыты используются для оценки каждого из коэффициентов.

Часто, особенно в начальной стадии исследования, возникает необходимость получить некоторые, пусть не особенно точные сведения о технологическом процессе при минимальных экспериментальных данных. Число опытов можно сократить, применяя для проведения эксперимента план дробного факторного эксперимента (ДФЭ). ДФЭ позволяет получить линейное приближение искомой функциональной зависимости y = f(x₁, x₂, …,x_i, …., x_k).

Допустим, что необходимо получить приближенную ММ показателя качества изделия от трех технологических факторов. Для решения задачи можно ограничиться только четырьмя опытами, если в плане ПФЭ 2² произведение приравнять третьему фактору (табл. 16).

Таблица 16

Матрица планирования ДФЭ 2^3-1 при

№ опыта	№ опыта ПФЭ 23
1	5	-1	-1	+1
2	2	+1	-1	-1
3	3	-1	+1	-1
4	8	+1	+1	+1

В записи плана дфэ 2k-p p означает количество взаимодействий факторов приравненным независимым переменным. Дфэ 23-1 – половина пфэ 23, т.Е. Полуреплика от пфэ 23.

Приведенное планирование в табл.16 позволяет оценить коэффициент b₀ и коэффициенты при факторах x₁, x₂, и x₃,: b₁, b₂, b₃. Применение ДФЭ всегда связано со смешанной оценкой коэффициентов ММ. В нашем примере, если коэффициенты при парных взаимодействиях факторов не строго равны 0, то каждый из коэффициентов b_i будет оценкой двух теоретических коэффициентов:

,

так как столбцы матрицы планирования для линейных членов и парных взаимодействий совпадают (полностью скоррелированы).

Если после проведения эксперимента с числом опытов равным четырем (табл. 16) у исследователя возникнут сомнения в том, что (в нашем случае ), то он может провести еще четыре опыта, приравняв теперь к - (табл. 17).

Таблица 17

Матрица планирования ДФЭ 2^3-1 при

№ опыта	№ опыта ПФЭ 23
1	1	-1	-1	-1
2	6	+1	-1	+1
3	7	-1	+1	+1
4	4	+1	+1	-1

Из табл.17:

.

Если взять среднее из сумм и разностей для первой и второй системы совместных оценок, то получим раздельные оценки коэффициентов:

; ; ; ;

; ; ; .

Объединение представленных полуреплик (табл. 16 и табл. 17) дает ПФЭ 2³ и потому раздельные оценки b₀, b_i, b_ij получаются лишь с помощью ПФЭ. Таким образом, сокращение числа опытов приводит к получению смешанных оценок коэффициентов ММ.

ДФЭ 2^k-p при заданных k и p может иметь различную систему смешивания и исследователь стремится к тому, чтобы максимальное число линейных эффектов оказалось не смешанным с парными взаимодействиями. Поэтому актуальным является вопрос о разрешающей способности дробной реплики, т.е. возможности раздельной оценки коэффициентов ММ.

Для характеристики разрешающей способности ДФЭ вводятся понятия “генерирующего соотношения (ГС)” и “определяющего контраста (ОК)”. ГС показывает, с каким из эффектов смешан данный эффект. ОК получается умножением ГС на зависимый фактор (т.е. тот, который вводят в план эксперимента вместо взаимодействия). ОК – символическое обозначение произведения столбцов, равного 1.

Было показано, что ДФЭ 2^3-1 может быть представлен двумя различными полурепликами, каждая из которых характеризуется одним из следующих ГС:

; .

ОК получается умножением левой и правой частей ГС на . При этом получаются элементы первого столбца матрицы планирования, всегда равные 1:

; .

Значение ОК позволяет определить всю систему совместных оценок, не изучая матрицу планирования. Для этого надо последовательно умножить независимые переменные на ОК:

, или ,

, ,

, .

Чтобы получить высокую разрешаемую способность стремятся так выбрать план ДФЭ, при котором линейные эффекты были бы смешаны с взаимодействиями самого высокого порядка (они чаще бывают равными 0) или с теми взаимодействиями, о которых априори известно, что они не оказывают влияния на показатель качества изделия. Оценить разрешающую способность помогает ГС: чем больше символов входит в него, тем выше разрешающая способность. Например, в ДФЭ 2^4-1 в качестве ГС могут быть взяты

или .

Определим ОК и с их помощью найдем системы совместных оценок:

и ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

. .

Отсюда для b₁ имеем:

; .

Дальнейший анализ показывает, что если для экспериментатора важны оценки линейных эффектов, то в качестве ГС следует взять .

Дробные реплики с максимальным числом символов ГС называют главными. При исследовании многофакторных ТП применяют реплики и большей степени дробности:

1/4; 1/8; 1/16 и т.д.

Пример: ПФЭ 2¹⁰, N = 1024;

ДФЭ 2^10-6 (1/64 реплика), N = 16.

Статистическая обработка результатов эксперимента и получение ММ для ДФЭ ничем не отличается от ПФЭ. Свойства ПФЭ 2^k сохраняются и для ДФЭ.

Для правильного планирования ДФЭ необходимо использовать все сведения об исследуемом ТП, как теоретического, так и экспериментального характера, а в некоторых случаях и интуитивного характера. На основании этих сведений необходимо выделить те факторы и их произведения, влияние которых на показатель качества изделия минимально. Кроме того для электронных средств и их ТП производства всегда имеются некоторые невозможные сочетания или взаимодействия факторов (например, для ЭС – низкая температура и высокая влажность).