Вычисление коэффициента термоЭдс

Найдем выражение для коэффициента термоЭДС, используя кинетическое уравнение Больцмана в приближении времени релаксация.

(2)

где .

Полагая, что производные от f₁ являются величинами меньшего порядка малости, чем f₁ уравнение (2) переписываем в виде

(3)

Используя выражение для плотности тока

и определяя функцию из уравнения (3), получаем

. (4)

В рассматриваемом случае сила определяется напряженностью поля , обусловленного возникновением термоЭДС

Переходя к интегрированию по энергии, преобразовываем выражение (4) к виду

(5)

где А – некоторая постоянная.

ТермоЭДС есть разность потенциалов на концах полупроводника при отсутствий в нем тока. Учитывая, что

и, полагая в выражении (5) , получаем

(6)

Зависимость времени релаксации от энергии во многих случаях можно описать степенной функцией вида (E)=₀E^-1/2. Значение r определяется механизмом рассеяния. В частности, если основным механизмом рассеяния является рассеяние на фононах, то r=0.

Выражение (6) преобразуем к виду

. (7)

Для невырожденного полупроводника

поэтому отношение интегралов в (7) равно kT(r+2). Отсюда

.

Пусть координатs концов полупроводника соответствуют x₁ и x₂, а температуры концов – T₁ и T₂. Тогда разность потенциалов между ними

.

Заменим интегрирование по x интегрированием по температуре

Для коэффициента термоЭДС получим

. (8)

Температурная зависимость коэффициента термоЭдс

Для невырожденного полупроводника концентрация электронов и дырок определяются выражениями

(9)

(10)

где и - эффективные плотности состояний в зоне проводимости и валентной зоне,

,

.

Эффективные массы плотности состояний и зависят от структуры энергетических зон полупроводника. Выражение (8) с учетом (9) и (10) для полупроводника n-типа преобразуется к виду

(11)

и для полупроводника p-типа

. (12)

Таким образом, в области явно выраженной примесной проводимости коэффициент термЭДС определяется концентрацией основных носителей заряда и температурой и не зависит от подвижности. Знак  совпадает со знаком основных носителей.

Формулы (11) и (12) были впервые выведены советским физиком Н.Л.Писаренко и носят его имя.

Выражение (8) для коэффициента термоЭДС было получено в предположении, что ток создается только одним типом носителей. В общем случае при смешанной проводимости термоЭДС выражается через "парциальные" термоЭДС, обусловленные носителями каждого знака

Знак минус между членами, определяющими вклад электронов и дырок, понятен: совместная диффузия тех и других от горячего конца к холодному уменьшает результирующую термоЭДС.

В собственном полупроводнике, а также в области собственной проводимости примесного полупроводника ( ) найдём _i, используя выражения (8), (9) и (13)

.

Величина термоЭДС в области собственной проводимости определяется лишь шириной запрещенной зоны и соотношением подвижности электронов и дырок. Следовательно, зависимость может бить использована для определения ширины запрещенной зоны E_g. В большинстве полупроводниковых материалов , поэтому знак _i в собственной области такой же, как в примесном полупроводнике -типа. Для определения типа основной примеси в полупроводнике важно то, что в полупроводнике p-типа при повышении температуры и переходе из области примесной в область собственной проводимости термоЭДС  меняет знак.

Для вырожденных полупроводников и металлов термоЭДС определяется формулой Мотта

. (15)

Из сравнения формул (15) и (8) видно, что термоЭДС для металлов значительно меньше, чем для полупроводников (величина ).

На рис. 2 представлены температурные зависимости коэффициента термоЭДС  для электронного и дырочного полупроводников. При низких температурах (область I)  уменьшается с ростом температуры за счет увеличения концентрации электронов, возбуждаемых с примесных центров. В области истощения примеси (область II) коэффициент термоЭДС возрастает при увеличении температуры в связи с увеличением величин N_C и N_V. В области собственной проводимости (область III)  резко уменьшается, причем наклон зависимости _i(1/T) определяется шириной запрещенной зоны E_g и соотношением подвижностей.

Исследуя зависимость _i(T) в диапазоне температур, можно определить тип проводимости полупроводника. Действительно, термоЭДС в полупроводнике p-типа меняет знак при достаточно высоких температурах (рис. 2), знак термоЭДС в электронном полупроводнике остается неизменным.

Рис.2. Температурные зависимости коэффициента термоЭДС  для электронного и дырочного полупроводников