23. В шар радиуса r вписана правильная треугольная пирамида, боковые грани которой наклонены под углом к основанию. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

24. В конус вписана правильная четырехугольная пирамида, высота которой равна см, а плоский угол при вершине . Найдите объем конуса.

25. Квадрат со стороной см вращается вокруг диагонали. Найдите объем тела.

26. Равнобедренный треугольник, основание которого а и острый угол при вершине , вращается вокруг оси, которая лежит в плоскости треугольника, проходит через его вершину и перпендикулярна к боковой стороне. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Варіант 3

Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.

1. Средняя линия равностороннего треугольника равна см. Расстояние от точки пространства до вершин треугольника равно 10 см. Вычислите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

2. Ортогональной проекцией данного треугольника является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 15 см и катет 9 см. Угол между плоскостями этих треугольников равен 30°. Вычислите площадь данного треугольника. Выясните, может ли он быть правильным?

3. Из некоторой точки пространства к плоскости правильного треугольника, площадь которого см², проведен перпендикуляр, основание которого лежит на одной из сторон треугольника. Расстояние от этой точки до двух других сторон этого треугольника равно 13 см. Вычислите расстояние от данной точки до плоскости треугольника.

4. Из точки пространства к плоскости прямоугольной трапеции, меньшее основание которой 20 см, а боковая сторона 25 см, проведен перпендикуляр. Основание перпендикуляра - вершина острого угла трапеции, меньшая диагональ которой является биссектрисой прямого угла. Расстояние от данной точки до вершины другого прямого угла равно 45 см. Вычислите расстояние от этой точки до плоскости трапеции.

5. В грани двугранного угла проведена прямая, образующая с другой его гранью угол 30°, а с ребром двугранного угла угол 45° Какова величина двугранного угла?

6. В прямоугольном треугольнике с катетами 15 см и 20 см из вершины прямого угла восставлен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 5 см. Найдите расстояние от концов этого перпендикуляра до прямой, содержащей гипотенузу.

7. Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, которая проходит через середины М и N ребер АВ и ВС основания ABCD и середину Р ребра SD.

8. Даны: =13; =19; =24. Вычислите .

9. Точки А(4; 2; - 1), С(- 4; 2; 1), D(7; - 3; 4) - вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины В.

10. Докажите, что треугольник с вершинами А (7; 1; - 5), В (4; - 3; - 4), С (1; 3; - 2) равнобедренный.

11. В тетраэдре ABCD точка М - середина ребра ВС. Выразить через векторы

= , = , = вектор .

12. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с углом при основании. Диагональ боковой грани, содержащей основание этого треугольника, наклонена к его плоскости под углом . Диагонали двух других боковых граней равные l. Определите объем призмы.

13. Основанием правильной призмы служит шестиугольник со стороной 3 дм; высота призмы равна 13 дм. Найти площадь сечения, проведенного через две противолежащие стороны верхнего и нижнего оснований призмы.

14. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре равен . Найдите объем пирамиды, если высота пирамиды равна h.

15. В правильной треугольной пирамиде апофема равна h, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол . Найти объем пирамиды.

16. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине. Радиус описанной около него окружности равен R. Две равные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом . Найдите боковую поверхность пирамиды,

17. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом . Две боковые грани, которые содержат стороны этого угла, перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом . Определите полную поверхность пирамиды, если наименьшее боковое ребро равно l.

18. Хорда основания цилиндра стягивает дугу окружности основания, равную . Площадь боковой поверхности цилиндра равна Q. Найти площадь сечения, проведенного через данную хорду параллельно оси цилиндра.

19. Найти диагональ осевого сечения цилиндра, зная что объем цилиндра равен 240 см³, а боковая поверхность 120 см².

20. В основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетом b и противолежащим углом . Диагональ грани, содержащей этот катет, наклонена под углом к основанию. Найдите площадь поверхности описанной сферы.

21. В шар радиуса R вписан прямоугольный параллелепипед, диагональ которого образует с меньшей боковой гранью угол . Диагональ основания параллелепипеда образует с большей стороной основания угол . Найдите боковую поверхность параллелепипеда.

22. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине. Через две равные диагонали двух боковых граней, угол между которыми равен , проведено сечение, площадь сечения равна S. Найдите объем цилиндра, описанного около данной призмы.

23. В основании прямой призмы лежит треугольник со стороной с и прилежащими углами и . Диагональ грани, которая содержит данную сторону, наклонена к плоскости основания под углом . Найдите объем цилиндра, вписанного в данную призму.

24. В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб с тупым углом . Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды, если расстояние от центра вписанного шара до вершины пирамиды равно d.

25. Радиус основания конуса равен r, а образующая наклонена к плоскости основания под углом . Около этого конуса описана пирамида, в основании которой прямоугольный треугольник с острым углом . Определите объем и боковую поверхность пирамиды.

26. В нижнем основании цилиндра проведена хорда длиной а, которую видно из центра основания под углом . Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой этой хорды, образует с основанием угол . Найдите площадь поверхности описанной около цилиндра сферы.

Варіант 4

Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.

1. Дан треугольник ABC, в котором АВ = 16 см, АС =12 см, ВС = 20 см. На стороне АВ взята точка М так, что ВМ : МА = 3:1. Через точку М проведена плоскость, пересекающая сторону АС в точке К. Найдите площадь треугольника АМК, если известно, что данная плоскость параллель­на ВС.

2. Средняя линия равностороннего треугольника равна см. Расстояния от точки пространства до вершин треугольника равны по 5 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

3. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Некоторая точка, расположенная вне ромба, удалёна от всех сторон ромба на 8 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости ромба.

4. Две прямые, расстояние между которыми 17 см, принадлежат двум перпендикулярным плоскостям и параллельны прямой пересечения этих плоскостей. Расстояние от одной из данных прямых до прямой пересечения плоскостей равно 8 см. Докажите, что через данные прямые можно провести плоскость и вычислите расстояние до нее от линии пересечения данных плоскостей.

5. Ортогональная проекция прямоугольника, стороны которого 8 см и 6 см, наклонена к плоскости прямоугольника под углом 60°. Вычислите площадь проекции. Может ли эта проекция быть квадратом?

6. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки 20 см и 15 см. Расстояние от некоторой точки пространства до плоскости треугольника равно 24 см. Расстояния от этой точки до каждой стороны треугольника равны. Вычистите их.

7. Две пересекающиеся прямые АС и АВ пересекают боковую поверхность цилиндра в точках В и С. Тoчкa A является ортогональной проекцией точки А на плоскость основания цилиндра. Постройте линию пересечения плоскости основания цилиндра с плоскостью сечения ABC.

8. Точка М - середина стороны АВ параллелограмма ABCD. Выразите вектор - через вектор , где S - произвольная точка пространства.

9. Вычислите длину вектора , если (1; 1; - 1), (2; 0; 0).

10. Найдите координаты концов отрезка, который точками С(3; 4; 3) и D(2; 5; 4) разделен на три равные части.

11. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах (3; 0; -4) и (0; 5; 0)

12. Расстояние между боковыми ребрами наклонной треугольной призмы равны 10см, 10 см и 12 см. Боковое ребро имеет длину 15 см, длина его проекции на плоскость основания - 9 см. Вычислить площадь полной поверхности призмы.

13. В прямой треугольной усеченной призме боковые ребра: 17 см, 25 см и 30 см, а расстояние между ними соответственно: 18 см, 20 см и 34 см. Определить объем и площадь боковой поверхности этой усеченной призмы.

14. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, ее боковая поверхность равна S. Найдите угол между смежными боковыми гранями.

15. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при основании. Две боковые грани, что содержат стороны этого угла, перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом . Определить полную поверхность пирамиды, если меньшее боковое ребро равно l.

16. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Две смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углами и ( > ). Определите боковую поверхность пирамиды, если высота пирамиды равна h.

17. Через вершину правильной n-угольной пирамиды и через две вершины многоугольника, лежащего в основании, к плоскости основания проведена плоскость, под углом к плоскости основания, рассекающая основание на два многоугольника, имеющие соответственно (r + 2) вершины и (r -2) вершины вершин . Найдите объем пирамиды, если общая сторона этих двух много угольников равна b.

18. В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость, которая пересекает его нижнее основание по хорде, которую видно из центра этого основания под углом . Отрезок, который соединяет центр верхнего основания цилиндра с серединой хорды нижнего основания, наклонен к плоскости нижнего основания под углом . Найдите площадь сечения, диагональ которого равна d.

19. Высота и образующая конуса относятся как 4:5, а объем конуса 96 см . Найти его полную поверхность.

20. В шар вписан прямоугольный параллелепипед, диагональ которого образует с большей боковой гранью угол , угол между диагоналями основания параллелепипеда равен . Найдите поверхность шара, если высота параллелепипеда равна Н.

21. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине. Через основание треугольника нижней грани и противолежащую вершину верхней грани проведено сечение, которое образует с плоскостью основания призмы угол . Перпендикуляр, проведенный из вершины нижнего основания, которая не принадлежит данному сечению, к этому сечению, равен b, Найдите боковую поверхность цилиндра, описанного около данной призмы.

22. Основанием прямой призмы есть прямоугольник с углом между диагоналями. Диагональ одной из боковых граней образует с плоскостью основания угол , а диагональ смежной с ней боковой грани равна m. Вычислите боковую поверхность цилиндра, описанного около данной призмы.

23. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус шара, описанного около нее, равен R.