- •Практичне заняття №1. (2 год – 3 бали)
- •1. Теоретичний блок
- •2. Практичний блок
- •Практичне заняття №2. (2 год – 3 бали)
- •1. Теоретичний блок.
- •2. Практичний блок.
- •Практичне заняття №3. (2 год –3 бали)
- •1. Теоретичний блок
- •2. Практичний блок
- •Практичне заняття №4. (2 год. -3 бали)
- •1. Теоретичний блок.
- •2. Практичний блок.
- •Практичне заняття №5. (2 год – 3 бали)
- •1. Теоретичний блок
- •2. Практичний блок
- •Практичне заняття №6. (2 год. – 3бали)
- •1. Теоретичний блок.
- •2. Практичний блок.
- •Практичне заняття №7. (2 год. – 3 бали)
- •1. Теоретичний блок
- •2. Практичний блок
- •Практичне заняття №8. (2 год.-3 бали)
- •1. Теоретичний блок.
- •2. Практичний блок
- •Практичне заняття №9. (2 год. – 3 бали)
- •1. Теоретичний блок
- •2. Практичний блок
- •Практичне заняття №10. (2 год. – 3 бали)
- •1. Теоретичний блок
- •Практичний блок
- •Теорема Піфагора.
- •20. В прямую призму, основанием которой является прямоугольный треугольник с углом и гипотенузой с, вписана сфера. Найдите объем призмы.
- •25. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус шара, описанного около нее, равен r.
- •23. В шар радиуса r вписана правильная треугольная пирамида, боковые грани которой наклонены под углом к основанию. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
- •24. В конус вписана правильная четырехугольная пирамида, высота которой равна см, а плоский угол при вершине . Найдите объем конуса.
- •24. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна d. Боковое ребро образует с высотой угол . Найдите объем описанного шара.
- •25. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного в нее шара равен r.
- •25. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного шара равен r.
- •22. В шар радиуса r вписана правильная четырехугольная пирамида, боковые грани которой образуют угол, равный с основанием. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
- •22. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна b. Угол наклона бокового ребра к основанию равен . Найдите объем вписанного шара.
- •25. В основании конуса проведена хорда длиной а, которую видно из центра основания под углом . Образующая конуса наклонена к основанию под углом . Найдите объем описанного шара.
- •24. Угол между образующей конуса и его высотой равен . Расстояние от центра описанного около конуса шара до основания высоты равно l. Вычислите полную поверхность конуса.
- •26. Треугольник со сторонами 12 см, 17 см и 15 см вращается вокруг меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения.
- •25. В шар, площадь поверхности которого s, вписан конус. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен . Определите площадь полной поверхности конуса.
- •22. В основании конуса проведена хорда длиной b, которую видно из центра основания под углом . Угол при вершине осевого сечения конуса равен . Найдите объем описанного шара.
- •24. Основание пирамиды прямоугольная трапеция с основаниями а и b; двугранные углы при основании . Найдите объем вписанного шара.
- •25. Полная поверхность конуса равна s. Образующая его наклонена к плоскости основания под углом . Вычислите объем правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в этот конус.
- •20. В правильной треугольной пирамиде боковая грань наклонена к плоскости основания под углом . Найдите полную поверхность пирамиды, если радиус шара, вписанного в нее, равен r.
- •21. Апофема правильной треугольной пирамиды равна h. Боковое ребро образует с высотой угол . Найдите объем описанного шара.
- •24. В конус вписан шар радиуса r. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под утлом . Найдите объем конуса.
- •21. В основании конуса проведена хорда длиной b, которую видно из вершины под углом . Угол при вершине осевого сечения равен . Найдите площадь поверхности вписанной в конус сферы.
- •23. В шар радиуса 6 см вписана правильная четырехугольная пирамида. Какова должна быть величина высоты пирамиды, чтобы ее объем был наибольшим?
- •24. В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Найдите объем конуса, если ребро пирамиды равно l и плоский угол при вершине пирамиды равен .
- •22. В конус, объем которого равен V, вписана правильная пятиугольная пирамида. Найти объем пирамиды.
- •23. В цилиндр, вписанный в шар, вписан шар. Найдите отношение площадей поверхностей и объемов этих шаров.
- •21. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен . Найдите полную поверхность пирамиды, если радиус шара, вписанного в нее, равен r.
- •20. В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна l, а плоский угол при вершине . Найдите объем конуса, описанного около пирамиды.
- •22. Около шара описан усеченный конус, площадь осевого сечения которого s, острый угол сечения . Найдите объем шара.
- •26. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а. Боковое ребро наклонено к основанию под углом . Найдите объем вписанного шара.
- •22. Вокруг шара радиуса 6 см описан усеченный конус, радиусы оснований которого относятся как 4:9. Найдите боковую поверхность усеченного конуса.
- •23. В шар радиуса r вписана правильная четырехугольная пирамида, с плоским углом при вершине, равным . Найдите объем пирамиды.
- •21. В шар вписана правильная треугольная пирамида. Какова должна быть длина высоты пирамиды, чтобы объем пирамиды был наибольшим, если радиус шара равен 3 см?
- •23. В конус вписан шар. Отношение объемов конуса и шара равно 2. Найдите отношение площадей полных поверхностей конуса и шара.
- •22. В прямой круговой конус вписан шар, радиус которого равен 1 м. Найдите угол между образующей конуса и его основанием, при котором объем этого конуса наименьший.
- •Питання до екзамену
Паралельність прямих та площин.
Розв’язання трикутників.
Подібність фігур.
Об’єм многогранників.
Теорема Піфагора.
Об’єми та поверхні тіл обертання.
Рух.
Декартові координати та вектори у просторі.
Сума кутів трикутника.
Площа фігур.
Чотирикутники.
Суміжні та вертикальні кути.
Декартові координати на площині.
Основні властивості простіших геометричних фігур.
Тіла обертання.
Вектори.
Перпендикулярність прямих та площин.
Аксіоми стереометрії та їх найпростіші наслідки.
Геометричні побудови у площині.
Ознаки рівності трикутників.
Варіант 1
Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.
1.Прямая а параллельна плоскости . Через точки А и В прямой а проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках и соответственно. Найдите площадь четырехугольника В, если = 17 см, А = 10 см, В = 21 см.
2. Дан треугольник ABC, в котором АB = 9 см, ВС = 12 см, АС = 15 см. На стороне АВ взята точка М так, что AM : MB — 2:1. Через точку М проведена плоскость, параллельная стороне АС и пересекающая сторону ВС в точке К. Найдите площадь треугольника МВК.
3.Отрезок соединяет точки А и В, лежащие на двух взаимно перпендикулярных плоскостях, и образует с одной из них угол 45°. Один из концов отрезка удален от этой плоскости на расстоянии см. Часть линии пересечения плоскостей, заключенная между перпендикулярами, опущенными на нее из концов данного отрезка, равна 2 см. Найдите угол между отрезком и другой плоскостью.
4. Две параллельные прямые АВ и CD лежат в двух пересекающихся плоскостях, которые образуют угол 60°. Точки А и D удалены от линии пересечения плоскостей на расстоянии 8 см и 3 см. Найдите расстояние от плоскости ABD до линии пересечения данных плоскостей.
5. Из точки, которая удалена от плоскости на 12 см, проведены две наклонные, длины которых 13 см и см. Угол между проекциями этих наклонных равен 90°. Найдите расстояние от этой точки до прямой, проходящей через основания наклонных.
6. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120°, а боковые стороны по 10 см. Вне треугольника дана точка, удаленная от всех его вершин на 26см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.
7. Дан куб . На ребрах АВ и ВС даны точки М и N, которые делят эти ребра пополам. Постройте сечение куба плоскостью, которая проходит через точки М и N параллельно диагонали A D грани куба.
8. Даны точки А (0; 1; - 1), В (1; - 1; 2), С (3; 1; 0), D (2; 1; 1). Найдите угол между векторами и .
9. На оси аппликат найти точку А, равноудаленную от точек М(- 2; 3; 5) и
N (3; -5; 1).
10. Даны три точки А (0; 1; - 1), В (1; - 1; 2), С (3; 1; 0). Вычислите косинус угла С треугольника АВС.
11. При каких значениях m и n векторы (- 1; 4; - 2) и (- 3; m; n) коллинеарны?
12. В основании прямой призмы лежит ромб, меньшая диагональ которого равна d. Большая диагональ призмы, образует с плоскостью основания угол , а диагональ боковой грани - угол . Найдите объем призмы.
13. В основании прямой призмы лежит прямоугольник. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол , а диагональ одной из боковых граней равна l и образует с плоскостью основания угол . Найдите объем призмы.
14. В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна l, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол . Найти объем пирамиды.
15. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 4 см. Через сторону CD основания проведено сечение, которое пересекает грань SAB по средней линии треугольника SABSAB. Площадь сечения равна 18 см . Найдите объем пирамиды SABCD.
16. В основании пирамиды лежит прямоугольная трапеция с большей боковой стороною d и острым углом . Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом . Найти объем пирамиды.
17. Найдите объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если стороны оснований равны а и b (а > b), а острый угол боковой грани равен .
18. В усеченном конусе, отношение площадей оснований которого равно 4, образующая длиной 4 см наклонена к плоскости основания под углом в 30°. Определить объем этого конуса.
19. Через две образующие конуса проведена плоскость, которая наклонена к плоскости основания под углом . Эта плоскость пересекает основание конуса по хорде, которую видно из центра его основания под углом . Найдите объем конуса, если его образующая равна l.