22. В шар радиуса r вписана правильная четырехугольная пирамида, боковые грани которой образуют угол, равный с основанием. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

23. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при основании. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом . В эту пирамиду вписан шар; расстояние от центра шара до основания равнобедренного треугольника равно l. Найдите объем пирамиды.

24. Основание пирамиды - ромб с острым углом , двугранные углы при основании . Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного шара r.

25. В основании конуса проведена хорда, удаленная от центра основания на расстояние b. Образующая конуса наклонена к основанию под углом . Найдите объем описанного шара, если хорду видно из вершины конуса под углом .

26. Прямоугольный треугольник с острым углом и гипотенузой с вращается около прямой, которая лежит в плоскости треугольника и проходит через вершину прямого угла перпендикулярно к его биссектрисе. Вычислите объем тела вращения.

Варіант 7.

Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.

1. Из некоторой точки пространства к плоскости ромба, сторона которого равна 13 см, а большая диагональ 24 см, проведен перпендикуляр, длина которого 24 см. Основание его есть вершина тупого угла ромба. Вычислите расстояние от данной точки до прямой, содержащей большую диагональ ромба.

2. Ребро правильного тетраэдра равно а. Найдите расстояние между двумя скрещивающимися ребрами тетраэдра.

3. Прямоугольник ABCD со сторонами 15 см и 20 см перегнули по диагонали АС так, что плоскости АСВ и ACD перпендикулярны. Найдите расстояние между точками В и D.

4. Расстояние от точки до плоскости равно 12 см. Из этой точки проведены две наклонные, длина которых 13 см и 20 см. Расстояние между основаниями наклонных равно 19 см. Вычислите угол между проекциями этих наклонных.

5. Отрезок лежит в одной из двух перпендикулярных плоскостей и не пересекает другую. Концы этого отрезка удалены от прямой пересечения этих плоскостей на расстоянии 5 см и 9 см. Один конец отрезка удален от прямой, которая лежит в другой плоскости и параллельна прямой пересечения плоскостей, на 15 см. Вычислите расстояния от другого конца и середины отрезка до этой прямой.

6. Из некоторой точки к плоскости равнобедренного треугольника, основание которого 30 см, а площадь 300 см², проведен перпендикуляр, длина которого 5 см. Основание перпендикуляра принадлежит основанию треугольника, а боковые стороны его равноудалены от этой точки. Вычислите эти расстояния.

7. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через диагональ куба B D и параллельной диагонали основания АС, Вычислите площадь сечения, если ребро куба равно а.

8. Дано: , =60°, =1. Вычислите скалярное произведение .

9. Векторы и перпендикулярны, причем =5, =12. Определите .

10. Вычислите площадь треугольника ABC, если А (9; 0; 2); В (6; 0; -2); С (0; 3; 0).

11. Найдите угол между стороной АС и медианой ВМ треугольника ABC, если

А (- 3; - 5; 1), В (- 4; - 1; - 2) и С (3; 3; 1).

12. Основанием наклонной призмы служит правильный треугольник со стороной, равной а. Длина бокового ребра b, а одно из боковых ребер образует с прилежащими сторонами углы 45°. Найти объем призмы.

13. В усеченном параллелепипеде три боковых ребра по порядку имеют следующие длины: 15 см, 23 см, 18 см. Определить четвертое боковое ребро.

14. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен . Через сторону основания проведена плоскость под углом к основанию ( > ). Найдите площадь сечения, если высота пирамиды равна h.

15. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом . Две боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом . Найдите объем пирамиды, если боковое ребро, содержащее вершину данного угла , равно b.

16. В основании пирамиды лежит прямоугольная трапеция с большей боковой стороной d и острым углом . Боковая грань пирамиды, которая содержит большее основание трапеции, перпендикулярна к плоскости основания, а три другие наклонены к ней под углом . Найдите объем пирамиды.

17. Длины сторон оснований и высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды относятся как 9:6:2. Площадь боковой поверхности 3 дм . Найдите площадь полной поверхности.

18. Найдите радиусы оснований усеченного конуса, если его боковая поверхность равна 208 см², образующая 13 см, а высота 5 см.

19. Радиус основания равностороннего цилиндра равен R. Через точку окружности верхнего основания и точку окружности нижнего основания проведена прямая. Расстояние от этой прямой до оси цилиндра равно b. Найдите угол наклона этой прямой к плоскости основания цилиндра.

20. В шар радиуса R вписана призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с острым углом . Диагональ боковой грани, содержащей катет, прилежащий к этому углу, образует с основанием угол . Найдите объем призмы.

21. В шар радиуса см вписана правильная четырехугольная призма. Какова должна быть длина высоты призмы, чтобы ее объем был наибольшим?

22. В основании прямой призмы лежит треугольник со стороной а и прилежащими к ней углами и . Диагональ грани, которая содержит данную сторону, образует с боковым ребром призмы угол . Найдите боковую поверхность цилиндра, описанного около этой призмы.

23. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен . Радиус окружности, описанной около боковой грани, равен R. Найдите объем описанного шара.

24. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при основании и радиусом описанной окружности R. Найдите объем вписанного шара, если каждая боковая грань пирамиды образует с основанием угол .

25. В основании четырехугольной пирамиды лежит прямоугольник с углом между диагоналями. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды, если расстояние от центра описанного шара до основания высоты пирамиды равно l.

26. В правильной четырехугольной пирамиде расстояние от середины высоты пирамиды до бокового ребра равно l. Найдите полную поверхность описанного около пирамиды конуса, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом .

Варіант 8.

Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.

1. Прямая, не лежащая в плоскости, параллельна двум прямым этой плоскости. Найдите расстояние от этой прямой до плоскости, если она удалена от одной из прямых на расстояние 10 см, а от другой - на 17 см, расстояние между прямыми плоскости равно 21 см.

2. Сторона ромба 6 см, а один из углов 120°. Из точки, которая делит одну из сторон ромба в отношении 2:1, считая от вершины тупого угла, восставлен перпендикуляр к плоскости ромба длиной 4 см. Найдите расстояние от другого конца перпендикуляра до большей диагонали ромба.

3. Стороны треугольника 9 см, 10 см и 11 см. Из вершины угла, лежащего против стороны длиной 10 см, восставлен перпендикуляр, длина которого 7 см. Найдите расстояние от концов перпендикуляра до противолежащей стороны.

4. На ребре двугранного угла величиной 60° взят отрезок длиной 4 см. Из его концов в разных гранях проведены перпендикуляры к ребру длиной 3 см и 8 см. Найдите длину отрезка, соединяющего вторые концы этих перпендикуляров.

5. Из некоторой точки пространства к плоскости прямоугольного треугольника, площадь которого равна 216 см , а один из катетов равен 24 см, проведен перпендикуляр. Основание этого перпендикуляра принадлежит другому катету. Расстояния от данной точки до данного катета и гипотенузы равны 17 см. Вычислите расстояние от этой точки до плоскости данного треугольника

6. Площадь квадрата равна 100 см². Расстояние от некоторой точки пространства до плоскости квадрата равно 12 см. Расстояния от данной точки до каждой стороны квадрата равны. Вычислите это расстояние.

7. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S - ее вершина) проведите сечение через середины ребер SA, СВ и CD.

8. Дан параллелепипед . Укажите вектор, равный сумме .

9. Найдите координаты концов отрезка, который точками С(2; 0; 2) и D(5; - 2; 0) разделен на три равные части.

10. При каких значениях а и b плоскость ах + by - 2z + 7 = 0 перпендикулярна вектору (3; - 4; 1)?

11. Докажите, что треугольник с вершинами А (2; 0; 5), В (3; 4; 0) и С (2; 4; 0) прямоугольный. Найдите расстояние от начала координат до центра окружности, описанной около этого треугольника.

12. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник. Две диагонали, что пересекаются, двух равных боковых граней призмы образуют между собой угол . Через эти диагонали проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания угол . Диагональ третьей боковой грани равна l.Найти объем призмы.

13. Высота прямой призмы, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине, равна Н. Плоскость сечения, проходящая через боковую сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания, образует с плоскостью основа­ния угол . Найти объем призмы.

14. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Вычислите объем пирамиды, если ее высота равна h.

15. Найдите боковую поверхность правильной треугольной пирамиды, если плоскость, проходящая через сторону основания а и середину ее высоты, наклонена к основанию под углом .

16. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Две смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а наибольшее боковое ребро равно l и образует со сторонами основания соответственно углы и ( < ). Определите боковую поверхность пирамиды.

17. Определите объем правильной треугольной усеченной пирамиды, у которой стороны оснований 30 м и 20 м, а боковая поверхность равновелика сумме оснований.

18. Хорда основания цилиндра равна а и стягивает дугу окружности основания величиной . Площадь сечения, проведенного через эту хорду перпендикулярно плоскости основания, равна S. Найти Площадь полной поверхности цилиндра.

19. Найти боковую поверхность цилиндра, высота которого равна 5 см, если известно, что при увеличении его высоты на 4 см, объем увеличивается на 36 см³.

20. В основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим углом . Диагональ грани, содержащей этот катет, образует с плоскостью основания угол . Найдите объем шара, описанного около этой призмы.

21. В основании прямой призмы лежит треугольник с углами и . Диагональ грани, которая содержит сторону, прилежащую к данным углам, образует с плоскостью основания угол . Найдите объем цилиндра, описанного около данной призмы. Высота призмы равна Н.