24. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна d. Боковое ребро образует с высотой угол . Найдите объем описанного шара.

25. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного в нее шара равен r.

26. Радиус вписанного в конус шара равен r, а образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом . Определите площадь полной поверхности конуса.

Варіант 5.

Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.

1. Из некоторой точки пространства к плоскости ромба, сторона которого равна 5 см, а меньшая диагональ 6 см, проведен перпендикуляр. Основание перпендикуляра - вершина острого угла ромба. Расстояние от этой точки до вершины второго острого угла равно 17 см. Вычислите расстояние от данной точки до прямой, содержащей меньшую диагональ ромба.

2. Ребро куба равно а. Найдите кратчайшее расстояние между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю основания куба.

3. Дан параллелепипед ABCD с боковым ребром А = а, которое образует с основанием ABCD угол . Найдите расстояние между ребрами и CD.

4. Квадрат и прямоугольник, площади которых соответственно равны 64 см и 120 см , имеют общую сторону. Угол между их плоскостями 60°. Вычислите расстояние между стороной квадрата и стороной прямоугольника, которые параллельны между собой.

5. Ортогональной проекцией данного треугольника, площадь которого см , является прямо­угольный треугольник, катет которого 12 см, а медиана, проведенная к гипотенузе, равна 7,5 см. Вычислите угол между плоскостями этих треугольников. Выясните, может ли данный треугольник быть правильным?

6. Из некоторой точки к плоскости равнобедренного треугольника, площадь которого 300 см², проведен перпендикуляр. Основание перпендикуляра лежит на основании треугольника. Расстояния от данной точки до боковых сторон треугольника равны 13 см. Вычислите расстояние от точки до плоскости треугольника, если высота треугольника, проведенная к основанию, равна 20 см.

7. Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через точки М, N и Р, принадлежащие ребрам BB , CC и AD и BM:CN=1:3.

8. Дан куб . Вычислите угол между векторами и , где М – середина ребра АD.

9. Даны: =11; =23; =30. Определите .

10. Даны точки А (1; 4; 8) и В (- 4; 0; 3). Под каким углом отрезок АВ виден из начала координат?

11. Дан прямоугольный параллелепипед . Доказать: .

12. Основанием призмы служит правильный треугольник ABC. Боковое ребро АА составляет со сторонами основания АВ и АС равные углы. Доказать, что проекция вершины А лежит на биссектрисе угла ВАС.

13. В усеченной правильной четырехугольной призме дано: сторона основания равна а; из боковых ребер - два смежных имеют длину b, два других длину с. Определить объем и боковую поверхность этой усеченной призмы.

14. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если ее высота равна Н.

15. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при основании. Радиус вписанной в него окружности равен r. Две равные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом . Найдите боковую поверхность пирамиды.

16. В основании пирамиды лежит ромб, большая диагональ которого равна l. Две смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и образуют между собой острый угол , а две другие боковые грани образуют с плоскостью основания угол . Определите боковую поверхность пирамиды.

17. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 6см и 8 см, а боковое ребро 10 см. Проведите сечение через конец диагонали меньшего основания перпендикулярно к этой диагонали и определите его площадь.

18. Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник, одна из сторон которого вдвое больше другой. Боковая поверхность цилиндра равна 20 дм². Определите его полную поверхность, если образующая цилиндра — меньшая сторона его развертки.

19. Диагональ осевого сечения усеченного конуса делится осью на отрезки см и см . Зная, что образующая равна 13 см, определить его объем.

20. В правильной треугольной призме через диагонали, которые принадлежат боковым граням и пересекаются в плоскости верхнего основания, проведено сечение, Из вершины, которая не принадлежит сечению, проведен перпендикуляр к плоскости этого сечения. Он образует с боковым ребром, которое проходит через эту вершину, угол и равен b. Найдите боковую поверхность цилиндра, описанного около данной призмы.

21. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом . Через диагонали двух боковых граней, которые содержат стороны угла , проведено сечение, площадь которого S. Угол между этими диагоналями равен . Найдите объем цилиндра, описанного около данной призмы.

22. В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед, диагональ которого равна d и образует с меньшей боковой гранью угол . Определите объем цилиндра, если диагональ основания параллелепипеда составляет с большей стороной основания угол .

23. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите поверхность пирамиды, если радиус шара, вписанного в нее, равен r.

24. Высота правильной треугольной пирамиды равна h, плоский угол при вершине равен . Найдите площадь поверхности вписанной.сферы.