21. В основании конуса проведена хорда длиной b, которую видно из вершины под углом . Угол при вершине осевого сечения равен . Найдите площадь поверхности вписанной в конус сферы.

22. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при основании. Две равные боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а третья боковая грань образует с нею угол . Найдите объем пирамиды, если радиус описанного около нее шара равен R.

23. В шар радиуса 6 см вписана правильная четырехугольная пирамида. Какова должна быть величина высоты пирамиды, чтобы ее объем был наибольшим?

24. В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Найдите объем конуса, если ребро пирамиды равно l и плоский угол при вершине пирамиды равен .

25. Найдите наибольший объем конуса, вписанного в шар, если радиус шара равен 1 м и осевое сечение конуса - остроугольный треугольник.

26. Параллелограмм, у которого стороны равны 21 см и 89 см, а диагонали относятся как 41:50, вращается вокруг меньшей стороны. Определите объем тела вращения.

Варіант 14

Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.

1. Из некоторой точки пространства до плоскости прямоугольного треугольника, площадь которого 294 см , а один из катетов 28 см, проведен перпендикуляр, длина которого 9 см. Основание перпендикуляра лежит на гипотенузе. Расстояния от данной точки до катетов равны. Вычислите эти расстояния.

2. Отрезок лежит в одной из двух перпендикулярных плоскостей и не пересекает другую. Концы отрезка удалены от прямой, которая лежит в другой плоскости и параллельна прямой пересечения этих плоскостей, на 25 см и 26 см. Один конец отрезка удален от прямой пересечения плоскостей на 7 см. Вычислите расстояния от другого конца и середины отрезка, до прямой пересечения плоскостей.

3. Ортогональной проекцией четырехугольника является прямоугольник. стороны которого равны 16 см. и 18 см. Угол между плоскостями данного четырехугольника и прямоугольника равен 60°. Вычислите площадь данного четырехугольника. Может ли он быть квадратом?

4. Из центра О квадрата ABCD восставлен перпендикуляр ОМ к его плоскости. Плоскость, проведенная через точку М и прямую АВ, образует с плоскостью квадрата угол 60°. Проекция отрезка ОМ на плоскость АВМ равна 6 см. Найдите диагональ квадрата.

5. Прямоугольный треугольник с гипотенузой 32 см и острым углом 60° вписан в круг. Из центра круга О проведен перпендикуляр ОМ длиной 6 см к плоскости круга. Найдите расстояние от точки М до катетов треугольника.

6. Из центра О квадрата ABCD, диагональ которого равна 16 см, проведен отрезок OF перпендикулярно плоскости квадрата. Плоскость, проведенная через прямую DC и точку F, образует с плоскостью квадрата угол 60°. Найдите проекцию отрезка OF на плоскость DFC.

7. Постройте сечение пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точку М, лежащей на боковом ребре AS, и параллельной плоскости грани SBC.

8. Векторы и перпендикулярны, причем, =9, =12. Определите .

9. Параллелен ли вектор , где А(2; 0; - 3) и В(4; - 3; 2) плоскости

х+4у+2z-1=0? Почему?

10. При каком значении n плоскость x - 7у – 3z + 8 = 0 параллельна вектору (- 1; 2; n) ?

11. Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом, если:

А (0; 2; 0), В (1; 0; 0), С (2; 0; 2), D (1; 2; 2).

12. Боковая грань правильной шестиугольной призмы - квадрат, который имеет периметр 8 см. Найти площадь сечения, проведенного через диагонали параллельных боковых граней призмы.

13. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD со стороной, равной а, и острым углом 60°. Pe6po AA также равно а и образует с ребрами АВ и AD углы 45°. Определить объем параллелепипеда.

14. Площади оснований усеченной пирамиды относятся как 1:4. Большее основание - ромб с диагоналями 6 дм и 8 дм. Одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания и равняется 7 дм. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

15. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция с боковой стороной с и острым углом . Боковая грань пирамиды, которая содержит большее основание трапеции, перпендику­лярна к плоскости основания пирамиды, а три другие грани наклонены к ней под углом . Найти объем пирамиды.

16. Основание пирамиды - ромб с диагоналями 30 см и 40 см. Боковое ребро длиной 18 см перпендикулярно плоскости основания. Найдите площадь поверхности пирамиды.

17. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 8м и 5м, а высота 3 м. Проведите сечение через сторону нижнего основания и противоположную ей вершину верхнего основания. Определить площадь сечения.

18. В усеченном конусе высота равна 5 см, его образующая составляет с плоскостью нижнего основания угол в 60°, и перпендикулярна к диагонали осевого сечения, проходящей через верхний конец образующей. Определить боковую поверхность усеченного конуса.

19. Площадь основания конуса равна Q, угол наклона образующей к плоскости основания равен . Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен .

20. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом . Расстояние от вершины конуса до центра вписанного в него шара равно d. Вычислите полную поверхность конуса.

21. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной b и углом при вершине . Все боковые грани наклонены под углом к основанию. Найдите объем вписанного шара.