22. В основании конуса проведена хорда длиной b, которую видно из центра основания под углом . Угол при вершине осевого сечения конуса равен . Найдите объем описанного шара.

23. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом при основании. Все боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом. Боковое ребро, содержащее вершину данного равнобедренного треугольника, наклонено к плоскости основания пирамиды под углом . Найдите боковую поверхность конуса, вписанного в эту пирамиду, высота которой равна h.

24. Основание пирамиды прямоугольная трапеция с основаниями а и b; двугранные углы при основании . Найдите объем вписанного шара.

25. Полная поверхность конуса равна s. Образующая его наклонена к плоскости основания под углом . Вычислите объем правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в этот конус.

26. Равнобедренная трапеция, у которой меньшее основание и боковая сторона равны а, а угол при большем основании , вращается вокруг меньшего основания. Найдите объем тела вращения.

Варіант 12

Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.

1. Из некоторой точки пространства к плоскости правильного треугольника, площадь которого равна см², проведен перпендикуляр, основание которого принадлежит одной из сторон треугольника, а две другие стороны одинаково удалены от данной точки. Вычислите эти расстояния, если расстояние от точки до плоскости треугольника равно 12 см.

2. В равнобедренном треугольнике боковая сторона относится к основанию, как 7:6. Дана плоскость, которая не пересекает этот треугольник. Через вершины треугольника и центр вписанной в него окружности проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость. Вычислите длину отрезка от третьей вершины до плоскости, если длины отрезков от вершин основания треугольника до плоскости равны 40 см и 24 см, а от центра вписанной окружности равно 38 см.

3. Из точки D, лежащей на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС, проведен отрезок DM длиной 9 см перпендикулярно плоскости треугольника. Перпендикуляры, проведенные из точки М на катеты треугольника ABC, наклонены к плоскости треугольника под углом 45°. Найдите расстояние от точки М до вершины прямого угла треугольника ABC.

4. Основания трапеции 36 см и 24 см. Через большее основание трапеции проведена плоскость на расстоянии 12 см от точки пересечения ее диагоналей. Найдите расстояние от меньшего основания трапеции до этой плоскости.

5. В круг радиуса 8 см вписан прямоугольный треугольник, острый угол которого 30°. Из центра круга О проведен перпендикуляр ОК длиной 3 см к плоскости круга. Найдите расстояние от точки К до катетов треугольника.

6. Если точка равноудалена от двух вершин треугольника и перпендикуляр, проведенный через эту точку к плоскости треугольника, проходит через третью вершину, то данный треугольник равнобедренный. Докажите это.

7. Постройте сечение правильной треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через центр основания, параллельно боковой грани пирамиды.

8. Вычислите длину диагонали BD параллелограмма ABCD, если А (1; -3; 0), В (- 2; 4; 1), С (- 3; 1; 1).

9. Дан треугольник ABC. Найдите:

внешний угол при вершине В, если В (2; - 1; - 1), А (2; 2; - 4) и С (3; - 1; - 2).

10. Даны четыре точки А (0; 1; 1), В (1; 1; 2), С (2; - 2; 2) и D (2; - 3; 1). Найдите угол между векторами и .

11. При параллельном переносе точка А (2; 1; - 1) переходит в точку А (1; - 1; 0). В какую точку переходит точка М, симметричная точке А относительно начала координат?

12. Основанием наклонной призмы служит правильный треугольник АВС со стороной а. Вершина A проектируется в центр нижнего основания, а ребро AА , наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найти боковую поверхность призмы.

13. Основанием призмы служит параллелограмм с острым углом, равным . Боковое ребро, проходящее через вершину данного угла , равно b и составляет с прилежащими сторонами равные углы, каждый из которых равен . Найти высоту призмы.

14. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 24см и 12 см, а высота 36 см. Через точку пересечения диагоналей проведена плоскость параллельно основаниям пирамиды. Найдите объем усеченной пирамиды, ограниченной этим сечением и нижним основанием.

15. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине. Две равные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, а третья - наклонена к ней под углом . Определить полную поверхность пирамиды, если меньшее боковое ребро равно d.

16. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Две боковые грани, содержащие стороны острого угла этого треугольника, перпендикулярны к плоскости основания. Наименьшее боковое ребро равно l, а два других боковых ребра наклонены к плоскости основания под углами и ( < ) Вычислите объем пирамиды.

17. Площади оснований усеченной пирамиды равны 18 м и 128 м . Определить площадь параллельного сечения, делящего высоту в отношении 2:3, начиная от меньшего основания.

18. Определить полную поверхность усеченного конуса, диагонали осевого сечения которого взаимно перпендикулярны, образующая наклонена к плоскости основания под углом в 60°, а высота равна 6 см.

19. Через вершину конуса проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания угол . Эта плоскость пересекает основание конуса по хорде, которую видно из его вершины под углом . Найдите боковую поверхность конуса, если его высота равна h.