22. В конус, объем которого равен V, вписана правильная пятиугольная пирамида. Найти объем пирамиды.

23. В цилиндр, вписанный в шар, вписан шар. Найдите отношение площадей поверхностей и объемов этих шаров.

24. В треугольнике известна сторона а и прилежащие к ней два острых угла, которые равны и . Этот треугольник вращается вокруг прямой, которая лежит в плоскости треугольника и проходит через вершину третьего угла перпендикулярно к его биссектрисе. Определите объем тела вращения.

25. В треугольнике известны сторона с и два прилежащих острых угла, которые равны и . Этот треугольник вращается около прямой, которая проходит через вершину третьего угла параллельно известной стороне. Определите объем тела вращения.

26. В конус вписана правильная шестиугольная пирамида с высотой 4 см и плоским углом при вершине . Найдите полную поверхность конуса.

Варіант 15

Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.

1. Из точки к плоскости проведены две наклонные, разность между которыми равна 5 см. Проекции этих наклонных на плоскость соответственно равны 18 см и 7 см. Вычислите расстояние от данной точки до плоскости.

2. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, которое равно 16 см. Расстояние между вершинами этих треугольников равно 13 см. Боковая сторона одного треугольника равна 17 см. Другой треугольник - прямоугольный. Вычислите угол между плоскостями этих треугольников.

3. В прямоугольном треугольнике с катетом 15 см и гипотенузой 25 см из вершины прямого угла восставлен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 5 см. Найдите расстояние от концов этого перпендикуляра до прямой, содержащей гипотенузу.

4. Из точки А проведена наклонная АВ к плоскости под углом 45°. В плоскости проведена прямая ВС, которая образует угол 45° с проекцией наклонной АВ на плоскость . Основание перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость удалено от прямой ВС на 6 см. Найдите длину наклонной АВ и угол между прямыми АВ и ВС.

5. Равные равнобедренные треугольники АВС и BCD имеют общее основание ВС, а их плоскости образуют угол 120°. Найдите боковые стороны, треугольников ABC и BCD, если их основания равны по 3 см, а расстояние между точками А и D равно см.

6. В одной из граней двугранного угла, равного 45°, проведена прямая, образующая с другой гранью угол 30°. Найдите величину угла, который образует прямая с ребром двугранного угла.

7. Постройте сечение прямой четырехугольной призмы , плоскостью, проходящей через точки М, N и К, которые лежат соответственно на ребрах АА , DD и CC .

8. На оси абсцисс найти точку, равноудаленную от точек А (1; 2; 2) и В (-2; 1; 4).

9. Дан тетраэдр ABCD, , = , , = , К - внутренняя точка ребра СВ. Выразите вектор , через векторы .

10. Векторы (n; -2; 1) и (n; 1; -n) перпендикулярны. Найдите n.

11. Перпендикулярен ли вектор , где А(- 1; 5; - 2), В(0; 3; 4) и плоскость 2х – 4y + 12z - 1 = 0? Почему?

12. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с углом . Диагональ боковой грани, что содержит гипотенузу данного треугольника, образует с его плоскостью угол . Диагональ боковой грани, что содержит прилежащий к углу катет, равна l. Определить объем призмы.

13. Площади диагональных сечений наклонного параллелепипеда 105 см и 135 см , площади боковых граней относятся как 4:7. Найти площадь боковой поверхности.

14. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 8м и 5м, а высота 3 м. Проведите сечение через сторону нижнего основания и противоположную ей вершину верхнего основания. Определить площадь сечения.

15. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна h и образует с апофемой угол . Найдите полную поверхность пирамиды.

16. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно b, а двугранный угол при основании равен . Найдите полную поверхность пирамиды.

17. В правильной четырехугольной пирамиде боковая грань наклонена к плоскости основания под углом . Через сторону основания проведена плоскость, перпендикулярная к противо­лежащей боковой грани. Найдите площадь сечения, если радиус вписанного шара равен r.

18. Площадь боковой поверхности конуса относится к площади его основания, как m:n, высота конуса равна h. Найдите площадь осевого сечения конуса.

19. В усеченном конусе образующая равна 10 см, а радиусы оснований 1 см и 7 см. Найдите радиус цилиндра такой же высоты, полная поверхность которого равновелика полной поверхности усеченного конуса.

20. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите поверхность пирамиды, если радиус шара, вписанного в нее, равен r.

21. В основании прямой призмы лежит ромб с тупым углом . Сечение, проведенное через большую диагональ нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания наклонено к плоскости основания под углом . Площадь сечения равна Q. Найдите объем цилиндра, вписанного в данную призму.

22. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с углом . Через противолежащий углу катет нижнего основания и вершину угла верхнего основания проведено сечение. Перпендикуляр, проведенный из вершины угла нижнего основания к этому сечению равен b и образует с плоскостью основания угол . Найдите боковую поверхность цилиндра, описанного около призмы.

23. Найдите объем правильной треугольной призмы, если радиус описанной около нее сферы равен R. Этот радиус, проведенный в вершину призмы, образует угол с боковой гранью, содержащей эту вершину.

24. В шар радиуса R вписан прямоугольный параллелепипед, основанием которого является квадрат со стороной а. Найдите объем параллелепипеда.

25. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с углом при основании. Через две диагонали равных боковых граней проведено сечение, площадь которого равна Q. Угол между этими диагоналями равен . Найдите боковую поверхность цилиндра, вписанного в данную призму.

26. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с углом при основании. Диагональ грани, которая содержит боковую сторону этого треугольника, наклонена к плоскости основания под углом . Найдите боковую поверхность призмы, если радиус вписанного в нее цилиндра равен r.

Варіант 16

Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.

1. Из точки D, лежащей на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC и удаленной от вершины прямого угла на см, восставлен перпендикуляр DK к плоскости треугольника. Перпендикуляры, проведенные из точки К на катеты треугольника ABC, наклонены к плоскости треугольника под углом 45°. Найдите расстояние от вершины прямого угла треугольника ABC до точки К.

2. В параллелограмме ABCD диагональ АС равна см. Через вершину В проведена плоскость на расстоянии 5 см от диагонали АС. Проекции сторон ВС и АВ на эту плоскость равны соответственно 12 см и 9 см. Найдите длину диагонали BD.

3. Три плоскости параллельны. Одна прямая пересекает их в точках ,В₂, В₃, другая - в точках ,C₂,C . Известно, что В₁В₂=4 см, С₂С₃=16 см, В₂В₃=С₁С₂. Найдите длины отрезков В₁В₃ и C₁C₃.

4. В треугольнике MNK МК=34 см, MN=50 см, NK=52 см. Через вершину М к плоскости треугольника проведена наклонная, проекция которой пересекает KN в точке В. Наклонная образует со сторонами MN и МК равные углы. Найдите длину MB.

5. В равнобедренном треугольнике основание и высота, проведенная к основанию, соответственно равны 48 см и 32 см. Данная точка пространства лежит на расстоянии 60 см от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Вычислите это расстояние.

6. Отрезки двух прямых лежат между двумя параллельными плоскостями и соответственно равны 30 см и 26 см, а их проекции на одну из этих плоскостей относятся как 9:5. Вычислите расстояние между этими плоскостями.

7. Постройте и определите вид сечения прямой четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через точки C В и точку К, которая лежит на ребре DC.

8. Точка М (2; 6; 3) - середина отрезка, концы которого находятся на оси Ох и в плоскости уz. Найдите координаты концов и длину отрезка.

9. Вычислите площадь параллелограмма ABCD, если известны координаты трех его вершин: А (9; 0; 2), В (6; 0; - 2); С (0; 3; 0).

10. Дан треугольник ABC. Найдите: внешний угол при вершине А, если А (2; - 2; - 3), В (4; - 2; - 1) и С (2; 2; 1).

11. Пусть О - центр правильного шестиугольника ABCDEF. Доказать: ;

12. В основании прямой призмы прямоугольник. Диагональ призмы равна d и образует с плоскостью основания угол , а диагональ одной из боковых граней наклонена к плоскости основания под углом . Вычислите объем призмы.

13. Основанием призмы . служит правильный треугольник ABC. Вершина A проектируется в центр нижнего основания. Доказать, что боковое ребро АА составляет со сторонами основания АВ и АС равные углы.

14. Определить боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды ecли сторона основания равна а, а боковая грань равновелика диагональному сечению, проведенному через диаметр основания.

15. В основании пирамиды лежит правильный треугольник. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом . Определите объем пирамиды, если наибольшее боковое ребро равно l.

16. Площади оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды 72 cм и 392 см ; площадь наименьшего осевого сечения 60 см . Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

17. Найдите полную поверхность правильной треугольной пирамиды по данному ее объему V и углу между боковой гранью и плоскостью основания.

18. Осевое сечение конуса - равносторонний треугольник. Площадь полной поверхности конуса равна 18 см . Найти площадь основания.

19. В усеченном конусе определите площадь осевого сечения, если площади оснований равны Q и q, а боковая поверхность S.

20. В основании прямой призмы лежит прямоугольник с углом между диагональю и большей стороной. Диагональ меньшей боковой грани образует с плоскостью основания угол . Площадь диагонального сечения равна Q. Найдите объем цилиндра, описанного около данной призмы.