3. Математическое ожидание и дисперсия числа m и частости m/n наступлений события в п повторных независимых испытаниях

Математическое ожидание и дисперсия числа т и частости появлений события при n повторных независимых испытаниях могут быть также вычислены и по формулам:

.	(16)
.	(17)

Теорема 1. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, равно M(X)=np, а ее дисперсия равна D(X)=npq.

Доказательство. Представим случайную величину Х как сумму n независимых случайных величин Х= Х₁+ Х₂+…+ Х_k+…+ Х_n , где случайная величина Х_k выражает число наступлений события А в k-ом испытании (k = 1, 2, … , n) и имеет закон распределения

	Xk:	xi	0	1
		pi	q	p

Вычислим математическое ожидание M(X_k) = x₁p₁ + x₂p₂ = 0q+1p = p и дисперсию

D(X_k) = (x₁-p)²p₁ + (x₂-p)²p₂ = (0-p)²q + (1-p)²p = p²q + q²p = pq (p+q) = pq .

Следовательно, M(X)= M(X₁)+ M(X₂)+…+ M(X_n) = p+ p+…+ p = np ,

D(X)= D(X₁)+ D(X₂)+…+ D(X_n) = pq + pq +…+ pq = npq . Теорема доказана.

Следствие. Математическое ожидание частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p, равно p, то есть , а ее дисперсия рана .

Доказательство.

Если Х –дискретная случайная величина, распределенная по биномиальному закону, то частость события есть . Следовательно,

, .

4. Биномиальный закон распределения и закон Пуассона

Определение 1. Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами p и n, если она принимает значения 0, 1, 2, … , m, … , n с вероятностями

,

где 0<p<1, q=1-p, m = 0, 1, 2, … , n . Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

X:	xi	0	1	2		m		n
	pi	qn						pn

Заметим, что

.

Вспоминая формулу Бернулли, можно сделать вывод о том, что биномиальный закон распределения является законом распределения числа X=m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А может произойти с одной и той же вероятностью p.

Теорема 1. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, равно M(X)=np, а ее дисперсия равна D(X)=npq.

Доказательство. Представим случайную величину Х как сумму n независимых случайных величин Х= Х₁+ Х₂+…+ Х_k+…+ Х_n , где случайная величина Х_k выражает число наступлений события А в k-ом испытании (k = 1, 2, … , n) и имеет закон распределения

	Xk:	xi	0	1
		pi	q	p

Вычислим математическое ожидание M(X_k) = x₁p₁ + x₂p₂ = 0q+1p = p и дисперсию

D(X_k) = (x₁-p)²p₁ + (x₂-p)²p₂ = (0-p)²q + (1-p)²p = p²q + q²p = pq (p+q) = pq .

Следовательно, M(X)= M(X₁)+ M(X₂)+…+ M(X_n) = p+ p+…+ p = np,

D(X)= D(X₁)+ D(X₂)+…+ D(X_n) = pq + pq +…+ pq = npq. Теорема доказана.

Определение 2. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона с параметром , если она принимает значения 0, 1, 2, … , m, … (бесконечное но счетное множество значений) с вероятностями

,

где m = 0, 1, 2, … . Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

	X:	Xi	0	1	2		m	
		pi	e-	e-				

Заметим, что .

Теорема 2. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, равны параметру  , т. е. M(X)= и D(X)= .

Доказательство. Вычислим математическое ожидание случайной величины Х по формуле .

.

Дисперсию случайной величины Х вычисляем по формуле

.

.

Следовательно, D(X) = (² + ) - ² =  . Теорема доказана.

Замечание 1. При достаточно больших значениях n и малых значениях p при условии, что произведение np , закон распределения Пуассона является хорошим приближением биномиального закона. Так как при этом вероятность p наступления события А в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона часто называют законом редких явлений.