4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа, её следствия и условия их применимости

Теорема (интегральная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность р наступления события A в каждом испытании постоянна и отличается от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления событие А в п независимых повторных испытаниях заключено в пределах от a до b (включительно), при достаточно большом числе п приближенно равна

,

где ; и .

(х) – функция Лапласа, табулированная в приложении II .

Условия применения:

n – велико, а p и q – не очень малы, так что npq20 .

Пользуясь таблицей, можно применять свойства функции (х):

1. Функция (х) является нечетной, т.е. (-х)= -(х).

2. Функция (х) возрастает на R.

3. (х)1 при + . Практически можно считать, что (х)1 уже при x>4.

Рассмотрим следствия интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Следствие. Если вероятность р наступления события A в каждом испытании постоянна и отличается от 0 и 1, то при достаточно большом числе п независимых повторных испытаний вероятность того, что:

а) число m наступлений события А отличается от среднего значения пp не более, чем на величину >0 (по абсолютной величине), приближенно равна

;

б) частость события А заключена в пределах от  до  (включительно), приближенно равна

, где и ;

в) частость события А отличается от его вероятности p не более чем на величину >0 (по абсолютной величине), приближенно равна

.

Условия применения формул совпадают с условиями применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа:

n – велико, а p и q – не очень малы, так что npq20 .

Доказательство.

а) неравенство m-np равносильно двойному неравенству np-  m  np+ . Следовательно, по интегральной формуле Муавра-Лапласа

.

5. Понятие случайной величины и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения.

Одним из фундаментальных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно — заранее неизвестно).

Случайные величины будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z, … , а их значения  соответствующими строчными буквами x, y, z, … .

Наиболее полным описанием случайной величины является ее закон распределения.

Определение. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Сначала рассмотрим дискретные случайные величины (ДСВ), характеризуемые конечным или бесконечным, но счетным множеством возможных значений, и соответствующими им вероятностями р_i =Р(Х = x_i).

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан аналитически (в виде формулы), графически и в виде таблицы.

Таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, называется рядом распределения дискретной случайной величины.

	X:	x1	x2		xi		xn
		p1	p2		pi		pn

События Х = x₁, Х = x₂,  , Х = x_n, состоящие в том, что в результате испытания случайная величина Х примет соответственно значения x₁, x₂,  , x_n, являются несовместимыми и единственно возможными, т.е. образуют полную группу событий. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1, т.е. .

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми.

Если говорить более строго, то случайная величина есть функция, заданная на множестве элементарных исходов.

При решении задач случайная величина, как и случайное событие, подлежит четкому определению по условию. Ее связь со случайным событием заключается в том, что принятие ею некоторого числового значения (то есть выполнение равенства Х = x_i,) есть случайное событие, характеризуемое вероятностью Р(Х = x_i)=р_i.

Большинство задач темы связано с построением для заданной случайной величины закона распределения, т.е. таблицы вида . Решение подобных задач требует, прежде всего, четких определений случайной величины и испытания, количественный результат которого характеризуется значениями x₁, x₂, … , x_i, … , x_n.

Затем можно перейти к построению закона распределения случайной величины, а точнее — к вычислению вероятностей р_i как вероятностей событий Х = x_i. Здесь могут быть использованы приемы и методы, рассмотренные при решении задач в темах 1—3.

Общая схема решения задач на построение законов распределения включает:

1) введение и четкое описание случайной величины, о которой идет речь;

2) описание множества ее возможных значений x₁, x₂, … , x_i, … , x_n;

3) рассмотрение выполнения каждого из равенств Х = х_i, как случайного события;

4) вычисление вероятностей этих событий с помощью основных теорем и формул;

5) проверка правильности составленного распределения с помощью равенства .

Особое внимание следует обратить на числовые характеристики случайной величины, призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения, в частности, на математическое ожидание и дисперсию и их свойства.