3. Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность

На практике редко встречается ситуация, когда изучаемый закон распределения неизвестен полностью. Чаще вид закона распределения известен заранее (из теоретических соображений) и требуется найти только неизвестные параметры, от которых он зависит ( в распределении Пуассона; a и ² для нормального распределения и т.д.).

Более того, в некоторых задачах сам закон распределения не существен, а требуется найти только его числовые характеристики.

В связи с этим возникает следующая задача: по известным значениям x₁, x₂,  , x_n случайной величины Х, полученным в результате n независимых опытов, оценить значение некоторого параметра  закона распределения случайной величины Х.

Ясно, что любая оценка для  (обозначим ее ) представляет собой некоторое выражение, зависящее от x₁, x₂,  , x_n , т.е. . Таким образом, сама оценка является случайной величиной, зависящей как от закона распределения случайной величины Х, так и от числа опытов n.

Свойства оценок:

1. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е. ;

2. Оценка называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру: ;

3. Несмещенная оценка параметра  называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра , вычисленных по выборкам одного и того же объема n.

На практике, в целях упрощения расчетов, не всегда проводят оценку, удовлетворяющую свойствам 1 и 3. Нередко целесообразно использовать незначительно смещенные оценки или оценки, обладающие большей дисперсией по сравнению с эффективными оценками. С другой стороны, практический смысл имеют только состоятельные оценки.

Лекция 10 Тема 9: Оценка доли признака и генеральной средней

ПЛАН

1. Оценка генеральной доли и генеральной средней по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность оценок.

2. Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке. Исправленная выборочная дисперсия.

3. Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности оценки.

4. Средняя квадратическая ошибка выборки при оценке генеральной доли и генеральной средней.

5. Определение необходимого объема повторной и бесповторной выборок.

1. Оценка генеральной доли и генеральной средней по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность оценок

Пусть генеральная совокупность содержит N элементов, из которых M элементов обладает некоторым признаком А. Необходимо найти оценку генеральной доли . В качестве такой возможной оценки параметра р рассмотрим его статистический аналог – выборочную долю .

Теорема 1. Выборочная доля повторной выборки является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной доли , причем ее дисперсия , где q=1-p.

Доказательство. Математическое ожидание и дисперсия частости события в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p , равны соответственно M(w)=p, D(w)=_w²=pq/n . Из первого равенства следует, что выборочная доля w есть несмещенная оценка генеральной доли р; из второго равенства получаем ее дисперсию.

Состоятельность оценки следует непосредственно из теоремы Бернулли , или .

Теорема 2. Выборочная доля бесповторной выборки является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной доли , причем ее дисперсия , где q=1-p.