- •Тема 1: Случайные события. Классификация событий
- •2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события
- •3. Статистическое определение вероятности события и условия его применимости
- •Лекция 2 Тема 2: Основные теоремы
- •1. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей и её следствия
- •2. Зависимые и независимые события. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
- •3. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Лекция 3 Тема 3: Повторные независимые испытания Тема 4: Дискретные случайные величины
- •1. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли
- •2. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости
- •3. Локальная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости
- •4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа, её следствия и условия их применимости
- •5. Понятие случайной величины и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения.
- •Лекция 4 Тема 4: Дискретные случайные величины
- •1. Математические операции над дискретными случайными величинами
- •2. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, их свойства
- •3. Математическое ожидание и дисперсия числа m и частости m/n наступлений события в п повторных независимых испытаниях
- •4. Биномиальный закон распределения и закон Пуассона
- •Лекция 5 Тема 5: Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения
- •1. Функция распределения случайной величины, ее свойства и график
- •2. Непрерывная случайная величина (нсв). Плотность вероятности нсв, ее определение и свойства
- •3. Равномерный (прямоугольный) закон распределения и его числовые характеристики.
- •Лекция 6 Тема 5: Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения
- •1. Нормальный закон распределения
- •2. Формулы для определения вероятностей: а) попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал; б) ее отклонения от математического ожидания. Правило трех сигм
- •3. Центральная предельная теорема. Понятие о теореме Ляпунова
- •Лекция 7 Тема 6: Двумерные (n-мерные) случайные величины
- •1. Понятие двумерной (n-мерной) случайные величины
- •2. Условные распределения и их нахождение по таблице распределения
- •3. Понятие о функции распределения и плотности вероятности двумерной случайной величины
- •4. Ковариация и коэффициент корреляции
- •Лекция 8 Тема 6: Двумерные (n-мерные) случайные величины Тема 7: Закон больших чисел
- •1. Двумерное нормальное распределение. Условное математическое ожидание и условная дисперсия
- •2. Лемма Чебышева (неравенство Маркова) Неравенство Чебышева и его частные случаи для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события
- •3. Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин. Теорема Чебышева и ее значение
- •4. Закон больших чисел. Теорема Бернулли и ее практическое значение
- •Лекция 9 Тема 8. Выборочный метод. Общие вопросы
- •1. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда
- •2. Генеральная и выборочная совокупности. Основная задача выборочного метода
- •3. Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность
- •Лекция 10 Тема 9: Оценка доли признака и генеральной средней
- •1. Оценка генеральной доли и генеральной средней по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность оценок
- •2. Оценка генеральной средней по собственно-случайной выборке
- •2. Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке. Исправленная выборочная дисперсия
- •3. Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности оценки
- •4. Средняя квадратическая ошибка выборки при оценке генеральной доли и генеральной средней
- •5. Определение необходимого объема повторной и бесповторной выборок
- •Лекция 11 Тема 10: Элементы статистической проверки гипотез
- •1. Статистическая гипотеза и статистический критерий
- •2. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Понятие о критериях согласия
- •3. Критерий согласия 2 Пирсона и схема его применения
- •Лекция 12 Тема 11: Элементы теории корреляции
- •1. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Основные задачи теории корреляции
- •2. Линейная корреляция. Уравнения прямых регрессии для парной корреляции
- •3. Оценка тесноты связи. Коэффициент корреляции (выборочный), его определение и свойства
- •4. Коэффициент детерминации и корреляционное отношение.
- •5. Проверка значимости уравнения регрессии
3. Критерий согласия 2 Пирсона и схема его применения
В наиболее часто используемом на практике критерии 2 Пирсона в качестве меры расхождения U берется величина 2 ("хи-квадрат"):
, |
(*) |
где ni, – эмпирические (опытные) частоты случайной величины X;
npi – теоретические частоты, представляющие произведение числа наблюдений п на вероятности pi, рассчитанные по предполагаемому теоретическому распределению.
Доказано, что выборочная характеристика или, как ее еще называют, статистика 2 (*) при п имеет 2–распределение с k=m-s-1 степенями свободы,
где:
т – число интервалов эмпирического распределения (вариационного ряда);
s – число параметров теоретического распределения, определяемых по опытным данным (например, в случае нормального закона распределения число оцениваемых по выборке параметров s=2).
Схема применения критерия 2 сводится к следующему:
1. Определяется мера расхождения эмпирических и теоретических частот 2 по (*).
2. Для выбранного уровня значимости по таблице 2–распределения ([2], прил. III, с. 108) находят критическое значение 2,k при числе степеней свободы k=m-s-1.
3. Если фактически наблюдаемое значение 2 больше критического, т. е. 2>2,k , гипотеза H0 отвергается; если 22,k гипотеза H0 не противоречит опытным данным.
Замечание 1. Если в таблице 2–распределения приводятся вероятности P(2>2,k) ([1], прил. IV, с. 315), то гипотеза Н0 отвергается, если вероятность P(2>2,k) меньше выбранного уровня значимости, и принимается в противном случае.
Замечание 2. Критерий 2 Пирсона дает удовлетворительные результаты, если в каждом интервале было достаточное число наблюдений ni ; если в каком-нибудь интервале число наблюдений меньше 5, имеет смысл объединить соседние интервалы с тем, чтобы в объединенных интервалах ni было не меньше 5. При этом при вычислении числа степеней свободы k в качестве т берется соответственно уменьшенное число интервалов.
Для определения статистики 2 удобно составить таблицу:
№ i |
Интервал [хi ; xi+1] |
Эмпирические частоты, ni |
Вероятности, pi |
Теоретические частоты, npi |
(ni-npi)2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекция 12 Тема 11: Элементы теории корреляции
ПЛАН
1. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Основные задачи теории корреляции.
2. Линейная корреляция. Уравнения прямых регрессии для парной корреляции.
3. Оценка тесноты связи. Коэффициент корреляции (выборочный), его определение и свойства.
4. Коэффициент детерминации и корреляционное отношение.
5. Проверка значимости уравнения регрессии.