Лекция 3 Тема 3: Повторные независимые испытания Тема 4: Дискретные случайные величины

ПЛАН

1. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

2. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости.

3. Локальная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости.

4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа, её следствия и условия их применимости.

5. Понятие случайной величины и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения.

1. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

Схемой Бернулли называется последовательность п независимых повторных испытаний, т.е. многократно повторяющихся испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с постоянной вероятностью Р(А) = р.

При этом испытания называются независимыми относительно события А, если вероятность наступления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других испытаний.

Теорема 1. Если вероятность р наступления события A в каждом испытании постоянна, то вероятность P_m,n того, что событие А наступит m раз в п независимых повторных испытаниях, равна

,

где — вероятность не наступления события А в каждом испытании.

Доказательство. Обозначим через B_m событие, состоящее в том, что в п независимых повторных испытаниях событие А наступит m раз.

Событие B_m есть сумма несовместимых событий - вариантов события B_m. Каждый вариант определяется номерами тех m испытаний, которые завершились появлением события А.

Число всех вариантов равно, очевидно, .

Вероятность каждого варианта ввиду независимости испытаний равна .

По теореме сложения для несовместимых событий получаем . Теорема доказана.

2. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости

Вычисление вероятности P_m,n появления события A при большом числе испытаний п по формуле Бернулли затруднительно. Возникает вопрос о нахождении формул, с помощью которых вероятность P_m,n можно вычислить приближенно. Такие формулы называют асимптотическими. Наиболее простой из них является формула Пуассона.

Теорема (теорема Пуассона). Если вероятность р наступления события A в каждом испытании стремится к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний п, причем произведение np стремится к постоянному числу , то вероятность P_m,n того, что событие А наступит m раз в п независимых повторных испытаниях, приближенно равна

, где =np .

Доказательство. По формуле Бернулли . При достаточно больших значениях п имеем .

Тогда,

, так как

,

и .

Теорема доказана.

Условия применения:

п – велико, р – мало, так что пр10;

значение функции Пуассона определяется по таблице (приложение III в учебном пособии [1]).

3. Локальная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости

Теорема (локальная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность р наступления события A в каждом испытании постоянна и отличается от 0 и 1, то вероятность P_m,n того, что событие А наступит m раз в п независимых повторных испытаниях при достаточно большом числе п, приближенно равна

, где и .

Условия применения:

n – велико, а p и q – не очень малы, так что npq20 ;

значение f(x) определяется по таблице (приложение I в учебном пособии [1]).

Пользуясь таблицей, можно применять очевидные свойства функции f(x):

1. Функция f(x) является четной, т.е. f(-x)= f(x).

2. Функция f(x) убывает на промежутке [0;+).

3. f(x)0 при + . Практически можно считать, что f(x)0 уже при x>4 .