- •Тема 1: Случайные события. Классификация событий
- •2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события
- •3. Статистическое определение вероятности события и условия его применимости
- •Лекция 2 Тема 2: Основные теоремы
- •1. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей и её следствия
- •2. Зависимые и независимые события. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
- •3. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Лекция 3 Тема 3: Повторные независимые испытания Тема 4: Дискретные случайные величины
- •1. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли
- •2. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости
- •3. Локальная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости
- •4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа, её следствия и условия их применимости
- •5. Понятие случайной величины и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения.
- •Лекция 4 Тема 4: Дискретные случайные величины
- •1. Математические операции над дискретными случайными величинами
- •2. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, их свойства
- •3. Математическое ожидание и дисперсия числа m и частости m/n наступлений события в п повторных независимых испытаниях
- •4. Биномиальный закон распределения и закон Пуассона
- •Лекция 5 Тема 5: Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения
- •1. Функция распределения случайной величины, ее свойства и график
- •2. Непрерывная случайная величина (нсв). Плотность вероятности нсв, ее определение и свойства
- •3. Равномерный (прямоугольный) закон распределения и его числовые характеристики.
- •Лекция 6 Тема 5: Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения
- •1. Нормальный закон распределения
- •2. Формулы для определения вероятностей: а) попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал; б) ее отклонения от математического ожидания. Правило трех сигм
- •3. Центральная предельная теорема. Понятие о теореме Ляпунова
- •Лекция 7 Тема 6: Двумерные (n-мерные) случайные величины
- •1. Понятие двумерной (n-мерной) случайные величины
- •2. Условные распределения и их нахождение по таблице распределения
- •3. Понятие о функции распределения и плотности вероятности двумерной случайной величины
- •4. Ковариация и коэффициент корреляции
- •Лекция 8 Тема 6: Двумерные (n-мерные) случайные величины Тема 7: Закон больших чисел
- •1. Двумерное нормальное распределение. Условное математическое ожидание и условная дисперсия
- •2. Лемма Чебышева (неравенство Маркова) Неравенство Чебышева и его частные случаи для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события
- •3. Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин. Теорема Чебышева и ее значение
- •4. Закон больших чисел. Теорема Бернулли и ее практическое значение
- •Лекция 9 Тема 8. Выборочный метод. Общие вопросы
- •1. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда
- •2. Генеральная и выборочная совокупности. Основная задача выборочного метода
- •3. Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность
- •Лекция 10 Тема 9: Оценка доли признака и генеральной средней
- •1. Оценка генеральной доли и генеральной средней по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность оценок
- •2. Оценка генеральной средней по собственно-случайной выборке
- •2. Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке. Исправленная выборочная дисперсия
- •3. Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности оценки
- •4. Средняя квадратическая ошибка выборки при оценке генеральной доли и генеральной средней
- •5. Определение необходимого объема повторной и бесповторной выборок
- •Лекция 11 Тема 10: Элементы статистической проверки гипотез
- •1. Статистическая гипотеза и статистический критерий
- •2. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Понятие о критериях согласия
- •3. Критерий согласия 2 Пирсона и схема его применения
- •Лекция 12 Тема 11: Элементы теории корреляции
- •1. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Основные задачи теории корреляции
- •2. Линейная корреляция. Уравнения прямых регрессии для парной корреляции
- •3. Оценка тесноты связи. Коэффициент корреляции (выборочный), его определение и свойства
- •4. Коэффициент детерминации и корреляционное отношение.
- •5. Проверка значимости уравнения регрессии
Лекция 4 Тема 4: Дискретные случайные величины
ПЛАН
1. Математические операции над дискретными случайными величинами.
2. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, их свойства.
3. Математическое ожидание и дисперсия числа m и частости m/n наступлений события в п повторных независимых испытаниях.
4. Биномиальный закон распределения и закон Пуассона.
1. Математические операции над дискретными случайными величинами
Пусть даны две случайные величины:
|
X: |
xi |
x1 |
x2 |
|
xn |
pi |
p1 |
p2 |
|
pn |
и
|
Y: |
yi |
y1 |
y2 |
|
ym |
pi |
p1 |
p2 |
|
pm |
Произведением случайной величины Х на постоянную величину k называется случайная величина kX, которая принимает значения kxi с теми же вероятностями pi (i=1, 2, … , n).
m-ой степенью случайной величины Х называется случайная величина Xm, которая принимает значения xim с теми же вероятностями pi (i=1, 2, … , n).
Суммой случайных величин Х и Y называется случайная величина Х+Y, которая принимает все возможные значения вида xi+yj (где i=1, 2, … , n и j=1, 2, … , m) с вероятностями pij того, что случайная величина X примет значение pi , а случайная величина Y примет значение pj , т.е. pij=P[(X= xi) (Y= yj)] .
Произведением случайных величин Х и Y называется случайная величина ХY, которая принимает все возможные значения вида xiyj (где i=1, 2, … , n и j=1, 2, … , m) с вероятностями pij того, что случайная величина X примет значение pi , а случайная величина Y примет значение pj , т.е. pij=P[(X= xi)(Y= yj)] .
Если случайные величины Х и Y независимы, т.е. независимы любые события X= xi и Y= yj , то по теореме умножения вероятностей для независимых событий
pij=P(X= xi)P(Y= yj)= pipj .
2. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, их свойства
Особое внимание следует обратить на числовые характеристики случайной величины, призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения, в частности, на математическое ожидание и дисперсию, и их свойства.
Определение 1. Математическим ожиданием, или средним значением, М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие их вероятности:
.
Свойства математического ожидания:
Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
M(C)=C .
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
M(kX)=kM(X) .
Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
M(X+Y) = M(X)+M(Y) .
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M(XY) = M(X)M(Y) .
Если все значения случайной величины увеличить на постоянную С, то математическое ожидание этой величины увеличиться на С:
M(X+С) = M(X)+С .
Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:
M(X-M(X)) = 0.
Доказательство. 2. Случайная величина kX принимает значения kxi с теми же вероятностями pi (i=1, 2, … , n), что и величина Х. Следовательно
.
Только математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину. Оно не характеризует степень отклонения принимаемых значений от среднего значения.
Определение 1. Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:
D(X)=M[X-M(X)]2.
В качестве характеристики рассеяния нельзя брать математическое ожидание M(X-M(X)) отклонения случайной величины от ее математического ожидания, ибо эта величина всегда равна нулю. С другой стороны, можно было бы рассмотреть величину D(X)=M[X-M(X)] . Но эта характеристика менее удобна для вычисления, чем дисперсия.
Если случайная величина Х является дискретной с конечным числом значений, то
.
Если случайная величина Х является дискретной с бесконечным числом значений, то
,
если числовой ряд сходится.
Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины Х, поэтому в качестве характеристики рассеяния часто используют величину .
Определение 1. Средним квадратическим отклонением x случайной величины Х называется арифметический квадратный корень из ее дисперсии:
.
Свойства дисперсии случайной величины :
Дисперсия постоянной величины равна нулю:
D(C)=0 .
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат:
D(kX)=k2D(X) .
Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:
D(X)=M(X2) -[M(X)]2 .
Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D(X+Y) = D(X)+D(Y) .
Доказательство. 2. Используя свойство 2 математического ожидания случайной величины X , получаем :
D(kX) = M[kX-M(kX)]2 = M[kX-kM(X)]2 = k2 M[X-M(X)]2 = k2D(X).
Замечание. Числовые характеристики случайной величины Х, являясь неслучайными, постоянными, играют существенную роль в теории вероятностей. Нередко удается решить вероятностные задачи, пользуясь только числовыми характеристиками случайной величины Х, не рассматривая закон ее распределения.