4. Средняя квадратическая ошибка выборки при оценке генеральной доли и генеральной средней

Теорема 1. Вероятность того, что отклонение выборочной доли от генеральной доли не превосходит числа  (по абсолютной величине), равна

, где .

Последняя формула называется формулой доверительной вероятности при оценке доли признака.

Определение 1. Средней квадратической ошибкой выборки при оценке генеральной доли признака называется среднее квадратическое отклонение выборочной доли _w собственно-случайной выборки (для бесповторной выборки обозначается _w).

Следствие 1. При заданной доверительной вероятности  предельная ошибка выборки равна t-кратной величине средней квадратической ошибки, т.е. .

Следствие 2. Доверительный интервал для генеральной доли может быть найден по формуле .

Используя формулы дисперсий и при оценке генеральной доли признака соответственно при повторной и бесповторной собственно-случайной выборке, можно получить формулы средних квадратических ошибок:

,

.

Заметим, что генеральная доля p неизвестна, но при достаточно большом объеме выборки практически достоверно, что pw. Более того, если даже выборочная доля w неизвестна, то в качестве pq можно взять его максимально возможное значение 0,25.

Теорема 2. Вероятность того, что отклонение выборочной средней от генеральной средней не превосходит числа  (по абсолютной величине), равна

, где .

Последняя формула называется формулой доверительной вероятности для средней.

Доказательство теоремы основано на теореме Ляпунова и свойстве 2 случайной величины, распределенной по нормальному закону распределения.

Определение 2. Средней квадратической ошибкой выборки при оценке генеральной средней называется среднее квадратическое отклонение выборочной доли собственно-случайной выборки (для бесповторной выборки обозначается ).

Следствие 3. При заданной доверительной вероятности  предельная ошибка выборки равна t-кратной величине средней квадратической ошибки, т.е. .

Следствие 4. Доверительный интервал для генеральной средней может быть найден по формуле .

Используя формулы дисперсий и при оценке генеральной средней соответственно при повторной и бесповторной собственно-случайной выборке, можно получить формулы средних квадратических ошибок:

,

.

Заметим, что дисперсия ² неизвестна, но при достаточно большом объеме выборки практически достоверно, что s²².

5. Определение необходимого объема повторной и бесповторной выборок

Для определения объема выборки n необходимо знать надежность (доверительную вероятность) оценки  и точность (предельную ошибку выборки) .

Например, при оценке генеральной средней для повторной выборки:

(t)=, где .

При заданной доверительной вероятности  предельная ошибка выборки равна t-кратной величине средней квадратической ошибки, т.е. (п.40, следствие 1).

Формула дисперсии при оценке генеральной средней при повторной собственно-случайной выборке (п.36, теорема 1).

Следовательно, . Отсюда .

Итак, для определения объема выборки необходимо знать дисперсию генеральной совокупности ² , которая неизвестна. Обычно, с целью определения ² , проводят выборочное наблюдение (или используют данные предыдущего аналогичного исследования) и полагают, что s²².

Аналогично находятся другие формулы для определения объема выборки по известным надежности и точности:

– при оценке генеральной средней для бесповторной выборки;

– при оценке генеральной доли для повторной выборки;

– при оценке генеральной доли для бесповторной выборки.

При оценке генеральной доли полагают w  p.