3. Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин. Теорема Чебышева и ее значение

Теорема 1. (Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин). Если дисперсии n независимых случайных величин Х₁, Х₂, … , Х_n , имеющих математическое ожидание, ограничены одной и той же постоянной С, то справедливо неравенство

.

Доказательство. Пусть . Тогда

.

По неравенству Чебышева для случайной величины Х и полученной оценке D(X)

.

Теорема 2. (Теорема Чебышева). Если дисперсии n независимых случайных величин Х₁, Х₂, … , Х_n ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий a₁, a₂, … , a_n, т.е.

или

.

Доказательство. По неравенству Чебышева для средней арифметической случайных величин

.

Но . Теорема доказана.

4. Закон больших чисел. Теорема Бернулли и ее практическое значение

Теорема Бернулли. Частость события в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р, при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к вероятности р этого события в отдельном испытании:

,

или

.

Доказательство. По неравенству Чебышева для частости события

.

Но . Теорема доказана.

Отметим, что термин "закон больших чисел" ввел Пуассон, доказавший теорему (1837 г.), являющуюся непосредственным обобщением теоремы Бернулли.

Теорема Пуассона. Частость события в n повторных испытаниях, в каждом из которых оно может произойти соответственно с вероятностями р₁, р₂, … , р_n, при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей события в отдельных испытаниях:

.

Русский математик А.А. Марков (1856-1922) предложил применять название "закон больших чисел" ко всей совокупности обобщений теоремы Бернулли, в которых устанавливается приближение средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

В широком смысле под термином "закон больших чисел" понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке А.Н. Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая.

Лекция 9 Тема 8. Выборочный метод. Общие вопросы

1. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда.

2. Генеральная и выборочная совокупности. Основная задача выборочного метода.

3. Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.

1. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда

Определение 1. Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариантов с соответствующими им весами (частотами или частостями). При этом вариантами называются различные значения случайной величины Х.

Вариационный ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину.

Вариационный ряд называется непрерывным (интервальным), если варианты могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину.

Числа, показывающие, сколько раз встречаются варианты из данного интервала, называются частотами, а их отношения к общему числу наблюдений – частостями (или относительными частотами).

Определение 2. Эмпирической функцией распределения F_n(x) называется относительная частота (частость) того, что случайная величина Х примет значение, меньшее заданного х, т.е. .

Накопленная частота показывает, сколько раз наблюдались варианты со значениями случайной величины, меньшими х.

Отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений называется накопленной частостью.

Определение 3. Средней арифметической вариационного ряда называется сумма произведений всех вариантов на соответствующие частоты, деленная на сумму частот:

,

где x_i  варианты дискретного ряда или середины интервалов интервального вариационного ряда ; n_i – соответствующие им частоты; .

Свойства средней арифметической:

1. Средняя арифметическая постоянной равна самой постоянной.

M(C)=C.

2. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличиться (уменьшиться) во столько же раз:

.

3. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличиться (уменьшиться) на же число:

.

4. Средняя арифметическая отклонений вариантов от средней арифметической равна нулю:

.

5. Средняя арифметическая алгебраической суммы нескольких признаков равна такой же сумме средних арифметических этих признаков:

.

Только средняя арифметическая не может в достаточной степени характеризовать вариационный ряд. Она не характеризует степень изменчивости значений признака.

Определение 4. Дисперсией s² вариационного ряда называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической:

.

Дисперсию s² часто называют эмпирической или выборочной, отмечая, что она находится по опытным или статистическим данным.

Определение 5. Средним квадратическим отклонением s вариационного ряда называется арифметический квадратный корень из ее дисперсии:

.

Свойства дисперсии случайной величины :

1. Дисперсия постоянной равна нулю.

2. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число k раз, то дисперсия увеличиться (уменьшиться) в k² раз:

.

3. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то дисперсия не изменится:

.

4. Дисперсия равна разности между средней арифметической квадратов вариантов и квадратом средней арифметической:

.

5. Если вариационный ряд состоит из нескольких групп наблюдений, то общая дисперсия равна сумме средней арифметической групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии:

, где

; ; .

Формула свойства 5 известна в статистике как правило сложения дисперсий.

Вычисление средней арифметической и дисперсии вариационного ряда можно упростить, используя следующие формулы:

; ,

где u_i определяются по формулам: .

Эти формулы значительно упрощают расчеты, если в качестве постоянной k взять величину интервала по х, а в качестве с – середину серединного интервала (если серединных интервалов два, то середину любого из этих интервалов).

Замечание. Вариационный ряд является статистическим аналогом (реализацией) распределения признака (случайной величины), а его числовые характеристики – средняя арифметическая и дисперсия s² – аналогами соответствующих числовых характеристик случайной величины – математического ожидания М(Х) и дисперсии ². Точно так же понятие частости (относительной частоты) для вариационного ряда аналогично понятию вероятности для случайной величины.

Необходимо четко знать формулы вычисления числовых характеристик ряда. Более сложные формулы, используемые в упрощенном способе расчета, являются вспомогательными, и их сложность объясняется переходом в расчетах от рассматриваемых вариантов к условным.