3. Статистическое определение вероятности события и условия его применимости

Классическое определение вероятности применимо только для тех событий, которые могут появиться в результате испытаний, обладающих симметрией возможных исходов. Однако существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения. В первую очередь это события, которые не являются равновозможными исходами испытания.

Есть другой подход при оценке вероятности событий.

Согласно статистическому определению, вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е.

, где:

– статистическая вероятность события А;

w(A) – относительная частота (частость) события А;

m – число испытаний, в которых появилось событие А;

n – общее число испытаний.

Статистическое определение вероятности события применимо не к любым событиям с неопределенным исходом, а только к тем, которые обладают определенными свойствами:

1. События должны быть исходами тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.

2. События должны обладать статистической устойчивостью, или устойчивостью относительных частот (опыт Бюффона появления герба XVIIIв. - 4040 - 0,5069; опыт Пирсона XIX в. - 23000 - 0,5005).

3. Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико.

Свойства вероятности, верные при классическом определении, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

Лекция 2 Тема 2: Основные теоремы

ПЛАН

1. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей и её следствия.

2. Зависимые и независимые события. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

1. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей и её следствия

Напомним, что события называются несовместимыми (несовместными), если наступление одного из них исключает наступление другого. В противном случае события называются совместимыми (совместными).

Например, выигрыш по одному билету лотереи двух ценных предметов - события несовместимые, а выигрыш тех же предметов по двум билетам - события совместимые.

Определение 1. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Сумма событий А и В обозначается через А+В.

Теорема 1 (теорема сложения вероятностей). Вероятность суммы несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Доказательство. Рассмотрим случай суммы двух несовместимых событий А и В:

n – общее число равновозможных и несовместимых исходов испытания (случаев);

m₁ – число случаев, благоприятствующих событию А;

m₂ – число случаев, благоприятствующих событию В.

Согласно классическому определению вероятности: P(A)=m₁/n, P(В)=m₂/n.

В силу несовместимости событий А и В событию А+В благоприятствует m₁+m₂ случаев. Следовательно, P(A+В) = (m₁+m₂)/n=m₁/n+m₂/n = P(A)+P(В). Теорема доказана.

Напомним, что несколько событий образуют полную группу событий (полную систему), если они являются единственно возможными и несовместимыми исходами испытания. Это означает, что в результате испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий.

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.

Это следует из того, что сумма событий, образующих полную группу, является достоверным событием, вероятность которого равна единице.

Частным случаем событий, образующих полную группу, являются противоположные события.

Два несовместимых события, одно из которых обязательно должно произойти, называются противоположными.

Событие, противоположное событию A, будем обозначать .

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.