Лекция 11 Тема 10: Элементы статистической проверки гипотез

ПЛАН

1. Статистическая гипотеза и статистический критерий.

2. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Понятие о критериях согласия.

3. Критерий согласия ² Пирсона и схема его применения.

1. Статистическая гипотеза и статистический критерий

Проверка статистических гипотез – один из наиболее часто используемых на практике разделов математической статистики.

Определение 1. Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.

* Различают простую и сложную статистические гипотезы (простая гипотеза полностью определяет теоретическую функцию распределения случайной величины).

Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой и обозначают H₀. Например, гипотеза H₀: случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами а=5, ²=2.

Определение 2. Правило, по которому гипотеза H₀ отвергается или принимается (точнее не отвергается), называется статистическим критерием.

При этом возможны 4 случая:

Гипотеза H0	Принимается	Отвергается
Верна	Правильное решение	Ошибка 1-го рода
Неверна	Ошибка 2-го рода	Правильное решение

Определение 3. Вероятность  допустить ошибку 1-го рода, т.е. отвергнуть гипотезу H₀, когда она верна, называется уровнем значимости критерия.

Вероятность допустить ошибку 2-го рода, т.е. принять гипотезу H₀, когда она неверна, обычно обозначается .

Определение 4. Вероятность (1-) не допустить ошибку 2-го рода, т.е. отвергнуть гипотезу H₀, когда она неверна, называется мощностью критерия.

Кремер, 2001, c.337

На языке статистического контроля качества продукции:

 – "риск поставщика", связанный с забраковкой по результатам выборочного контроля изделий всей партии, удовлетворяющей стандарту;

 – "риск потребителя", связанный с принятием по результатам выборочного контроля изделий партии, не удовлетворяющей стандарту;

На юридическом языке:

 – вероятность вынесения судом обвинительного приговора, когда обвиняемый невиновен;

 – вероятность вынесения судом оправдательного приговора, когда обвиняемый виновен в совершении преступления.

В основе применения выводов и рекомендаций с помощью теории вероятностей и математической статистики лежит принцип практической уверенности:

если вероятность события А в данном испытании очень мала, то при однократном выполнении испытания можно быть уверенным в том, что событие А не произойдет, и в практической деятельности вести себя так, как будто событие А вообще невозможно.

2. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Понятие о критериях согласия

Одной из важных задач математической статистики является установление теоретического закона распределения случайной величины, характеризующей изучаемый признак по эмпирическому распределению, представляющему вариационный ряд.

Для решения этой задачи необходимо определить вид и параметры закона распределения.

Предположение о виде закона распределения может быть выдвинуто исходя из теоретических предпосылок (например, выполнение условий центральной предельной теоремы может свидетельствовать о возможности нормального закона распределения случайной величины), опыта аналогичных исследований и, наконец, на основании графического изображения эмпирического распределения.

Параметры распределения, как правило, неизвестны, поэтому их заменяют "наилучшими" оценками по выборке.

Как бы хорошо не был подобран теоретический закон распределения, между эмпирическим и теоретическим распределением неизбежны расхождения. Естественно возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только случайными причинами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что теоретический закон распределения подобран неудачно? Для ответа на поставленный и аналогичные вопросы в математической статистике разработаны методы проверки статистических гипотез.

Определение 1. Статистические критерии, служащие для проверки гипотез о виде закона распределения, называются критериями согласия.

Если необходимо проверить нулевую гипотезу H₀ о том, что исследуемая случайная величина Х подчиняется некоторому закону распределения, то выбирают некоторую случайную величину U, характеризующую степень расхождения теоретического и эмпирического распределений, закон распределения которой при достаточно больших п известен и практически не зависит от закона распределения случайной величины X.

Зная закон распределения U, можно найти вероятность того, что U приняла значение не меньше, чем фактически наблюдаемое в опыте и. Если вероятность этого  мала, то это означает в соответствии с принципом практической уверенности, что такие, как в опыте u, и большие отклонения практически невозможны. В этом случае гипотезу H₀ отвергают. Если же вероятность P(Uu)= не мала, т. е. расхождение между эмпирическим и теоретическим распределением несущественно, то гипотезу H₀ можно считать правдоподобной или, по крайней мере, не противоречащей опытным данным.