2. Оценка генеральной средней по собственно-случайной выборке

Пусть из генеральной совокупности объема N отобрана случайная выборка Х₁, Х₂, … , Х_k, … , Х_n , где Х_k  случайная величина, выражающая значение признака у k-го элемента выборки. Необходимо найти оценку генеральной средней. В качестве такой возможной оценки рассмотрим его статистический аналог – выборочную среднюю .

Теорема 1. Выборочная средняя повторной выборки является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней , причем ее дисперсия .

Доказательство. Математическое ожидание выборочной средней :

, т.е. – несмещенная оценка для .

Дисперсия выборочной средней :

.

Состоятельность оценки следует непосредственно из теоремы Чебышева.

Теорема 2. Выборочная средняя бесповторной выборки является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средняя , причем .

2. Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке. Исправленная выборочная дисперсия

Теорема 1. Выборочная дисперсия s² повторной и бесповторной выборок является смещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии ².

Можно доказать, что для повторной и для бесповторной выборки .

Поэтому, при замене ² на s² , получается погрешность в меньшую сторону. Для ее ликвидации достаточно ввести поправочный коэффициент .

"Исправленной" выборочной дисперсией называется .

Очевидно, что , следовательно, является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии ².

3. Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности оценки

Ранее рассмотрена оценка некоторого параметра генеральной совокупности одним числом. Такая оценка называется точечной.

Но даже «эффективная» оценка является лишь приближенным значением неизвестного параметра и, будучи величиной случайной, может существенно отличаться от самого параметра. Поэтому наряду с точечной оценкой рассматривают интервальную оценку параметра.

Определение 1. Интервальной оценкой параметра  называется такой числовой интервал , который с заданной вероятностью  накрывает неизвестное значение параметра . Этот интервал называется доверительным интервалом, а вероятность  – доверительной вероятностью, или надежностью оценки.

Вообще говоря, величина доверительного интервала зависит от объема выборки n и от значения доверительной вероятности .

Определение 2. Предельной ошибкой выборки называется наибольшее отклонение  выборочной средней (или доли) от генеральной средней (или доли), которое возможно с заданной доверительной вероятностью .

Замечание 1. Предельная ошибка  является ошибкой репрезентативности выборки. Она появляется вследствие того, что исследуется не вся генеральная совокупность, а только некоторая ее часть (выборка). Ее часто называют случайной ошибкой вследствие случайности образования выборки. Если же ошибка возникает в результате нарушения принципа случайности при отборе элементов выборки, то ее называют систематической ошибкой репрезентативности.

Далее рассмотрим построение доверительного интервала для параметров генеральной совокупности при условии асимптотического распределения выборочных характеристик. Этот подход применяется для больших выборок (порядка сотен наблюдений).