2. Зависимые и независимые события. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Определение 1. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.

Произведение событий А и В обозначается через АВ (или просто АВ).

Напомним, что вероятность P(В) некоторого события В вычисляется при выполнении определенного комплекса условий. При изменении условий вероятность события В, вообще говоря, может измениться. Так если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность P(В), добавить новое условие А, то полученная вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается P_А(В) или P(В/A) .

Теорема 1 (теорема умножения вероятностей). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло:

P(AB) = P(A)P_А(В) = P(B)P_B(A) .

Доказательство. Найдем сначала формулу вычисления условной вероятности P_А(В):

n – общее число равновозможных и несовместимых исходов испытания (случаев);

m – число случаев, благоприятствующих событию А;

k – число случаев, благоприятствующих событию В;

l – число случаев, благоприятствующих событию AB. Ясно, что lm, lk.

После того, как событие А произошло, число всех равновозможных и несовместимых исходов испытания (случаев) сократилось с n до m, а число случаев, благоприятствующих событию B сократилось с k до l.

Согласно классическому определению вероятности: P(AB)=l/n, P(A)=m/n.

Следовательно, P_А(В)=l/m=(l/n)/(m/n)= P(AB)/P(A).

Аналогично, P_B(A)=P(AB)/P(B).

Выражая из последних двух равенств P(AB), получаем доказываемую формулу.

Замечание 1. Теорему умножения вероятностей можно обобщить на случай произведения произвольного числа событий: вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других; при этом условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли:

Замечание 2. Теорема умножения вероятностей принимает наиболее простой вид, когда события, образующие произведение, независимы: вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Два события называются независимыми, если наступление одного из них не меняет вероятности наступления другого. В противном случае события называются зависимыми.

Несколько событий называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы любые два из них и независимы любое из данных событий и любые комбинации (произведения) остальных событий. В противном случае события называются зависимыми.

3. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Формулы полной вероятности и Байеса являются следствием двух основных теорем теории вероятностей: теоремы сложения и теоремы умножения вероятностей.

Теорема 1. Если событие F может произойти только при условии появления одного из событий А₁ , А₂ , ... , А_n , образующих полную группу событий, то вероятность события F равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события F :

.

Доказательство. События А₁ , А₂ , ... , А_n образуют полную группу событий, следовательно, они единственно возможные и несовместимые.

Событие F может произойти только при условии появления одного из этих событий:

F = А₁F + А₂F+ ... +А_nF .

По теореме сложения вероятностей для несовместимых событий получаем

.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий для каждого i=1, 2, …, n имеем

.

Из последних двух формул следует формула полной вероятности. Теорема доказана.

Формула Байеса позволяет произвести количественную переоценку вероятностей событий Р(А_i) (i = 1, 2, ..., п), известных до испытания, лишь после того, как событие F произошло, т.е. найти условные вероятности событий Р_F(А_i) , получаемые после проведения испытания.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий для каждого i=1, 2, …, n имеем

.

Следовательно: .

Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события F, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы.