Лекция 8 Тема 6: Двумерные (n-мерные) случайные величины Тема 7: Закон больших чисел

ПЛАН

1. Двумерное нормальное распределение. Условное математическое ожидание и условная дисперсия.

2. Лемма Чебышева (неравенство Маркова). Неравенство Чебышева и его частные случаи для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события.

3. Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин. Теорема Чебышева и ее значение.

4. Закон больших чисел. Теорема Бернулли и ее практическое значение.

1. Двумерное нормальное распределение. Условное математическое ожидание и условная дисперсия

Вспомним определение обычной нормальной случайной величины. Случайная величина распределена по нормальному закону, если её функция распределения и плотность вероятностей имеют вид:

F(x) = + ( ), (x) = .

Определение 1. Двумерная случайная величина (Х,У) распределена по нормальному закону, если её совместная плотность имеет вид:

(x,у) = ,

где L(x,y) = [( )² - 2 + ( )²] .

Если нормальный закон одной случайной величины определяется двумя параметрами: а и , то двумерный нормальный закон распределения определяется пятью параметрами: а_х, а_у, ²_х , ²_у, , которые являются математическими ожиданиями и дисперсиями соответствующих случайных величин, а - коэффициент корреляции.

Аналогично формулам условных вероятностей для дискретных случайных величин, можно вывести аналогичные формулы для плотности вероятностей условных распределений, которые имеют вид:

_у(x) = и _х(у) = .

Из этих формул следует теорема (правило) умножения плотностей вероятностей:

(х,у) =  ₁(x) _х(у) =  ₂(у) _у(x).

Условные математические ожидания и условные дисперсии нормально распределённых величин вычисляются по формулам:

М_у(х) = а_х + (у - а_у), М_х(у) = ау + (х - а_х),

D_у(Х) = ²_х(1 - ²), D_х(У) = ²_у(1 - ²).

2. Лемма Чебышева (неравенство Маркова) Неравенство Чебышева и его частные случаи для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события

Теорема 1. Если случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа  верно неравенство

.

Доказательство. Пусть Х  дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

X:	x1	x2		xi		xn
	p1	p2		pi		pn

Пусть значения x₁, x₂,  , x_k не превосходят  , а значения x_k+1,  , x_n больше .

По теореме сложения вероятностей .

Но . Это вытекает из неотрицательности случайной величины Х и определения математического ожидания. Следовательно, . Теорема доказана.

Теорема 2. Для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева:

, где a=M(X), >0.

Доказательство. Применим лемму Чебышева к случайной величине и положительному числу ². Получим неравенство , равносильное неравенству . Теорема доказана.

Замечание. События X-a> и X-a противоположны, следовательно:

.

Запишем неравенство Чебышева для некоторых типов случайных величин.

1. Для случайной величины Х=m, имеющей биномиальный закон распределения с математическим ожиданием np и дисперсией npq, справедливо неравенство:

.

2. Для частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью , и имеющей дисперсию , справедливо неравенство:

.