4. Економіко-математичні методи, які застосовуються в економічному аналізі, їх класи­фікація

Зміст питання. Економіко-математичні методи, які застосовуються в економічному аналізі, їх класи­фікація. Лінійне й динамічне програмування, теорія масового обслуговування, сітьові графі­ки, транспортна задача та ін Особливості їх використання в аналізі господарської діяльності та сфери їхнього застосування

Застосування економіко-математичних методів (ЕММ) у системі функціонування організації викликано необхідністю підвищення ефективності процесів виробництва і обслуговування за умови раціонального використання наявних ресурсів через прийняття оптимальних управлінських рішень.

Основою формулювання економічної оптимізаційної задачі є можливість взаємозамінності способів виробництва товарів (надання послуг), допустимість багатьох варіантів використання матеріальних, трудових, фінансових, інформаційних ресурсів і вибору кращих з них.

Математичне програмування охоплює задачі пошуку екстремуму функції за наявності обмежень. Загальне завдання математичного програмування формулюється так: знайти величини керуючих факторів, при яких забезпечується максимум (мінімум) заданої цільової функції в області допустимих значень, що визначається деяким набором обмежень.

Оптимальність розв'язку означає, насамперед, його допустимість (тобто сумісність з усіма заданими умовами, що враховуються під час прийняття рішення). З усіх допустимих розв'язків оптимальним є той, для якого досягається екстремальне (максимальне чи мінімальне) значення критерію ефективної моделі. Формально багато проблем функціонування організацій можна пов'язати з раціональним використанням тих чи інших ресурсів, що дозволяє використати для їх розв'язання методи математичного програмування.

Загальна структура оптимізаційних моделей складається із цільової функції, яка набуває значення в межах обмеженого умовами задачі (області допустимих розв'язків), та із обмежень, що характеризують ці умови. Цільова функція в загальному вигляді визначається трьома моментами: керованими змінними, некерованими параметрами (залежними, наприклад, від зовнішнього середовища) і видом (формою) залежності між ними (видом функції).

Загальний вигляд оптимізаційної моделі такий:

де U – критерій оптимальності;

х=(х_1, х_2,...,х_n) – керовані змінні;

р=(р_1, р_2,...,р_n) – параметри_;

М – задані межі (область) зміни керованих зміних.

Задачі такого виду розв'язують методами математичного програмування, в яке входить лінійне, нелінійне, динамічне, цілочислове програмування та ін. Вибір методів математичного програмування для розв'язування оптимізаційних задач визначається видом цільової функції: обмежень, що визначають область зміни керованих змінних (наприклад, вимоги їх чисельності). Розв'язок задачі називається оптимальним рішенням або оптимальним планом.

Задачі лінійного програмування. У загальному вигляді задача лінійного програмування (ЗЛП) формулюється так: знайти вектор х=(х_1, х_2,...,х_n) який максимізує (мінімізує) лінійну цільову функцію:

а також задовольняє лінійні функціональні обмеження:

Крім того вектор повинен задовольняти прямі обмеження:

Ця задача може бути записаною в канонічній формі, при якій функціональні обмеження мають вигляд рівностей. Цього досягають додаванням до лівих частин цих обмежень m додаткових невід'ємних змінних. ЗЛП у канонічній формі розв'язують симплексним методом. Вирішення ЗЛП дає змогу знайти оптимальне управлінське рішення для різноманітних випадків, зокрема таких:

V оптимізація закріплення споживачів до постачальників;

V оптимізація завантаження виробничих потужностей;

V складання оптимальних сумішей (рецептів);

V оптимальний розкрій промислових матеріалів;

V оптимізація маршрутів комівояжерів тощо.

Задачі нелінійного програмування. Методи нелінійного програмування застосовують для розв'язування оптимізаційних задач, в яких цільова функція або обмеження (або перше і друге одночасно) характеризуються нелінійними залежностями. Ознаками нелінійності є, зокрема, наявність змінних, в яких показник степеня відмінний від одиниці, а також наявність змінного в показнику степеня, під коренем, під знаком логарифму. У разі нелінійності цільової функції оптимальне значення досягається не тільки на межі області допустимих значень (як це відбувається в задачах лінійного програмування), а всередині області, що значно ускладнює пошук оптимального значення. Також можливі варіанти, коли існуватимуть так звані локальні екстремальні точки, в той час як дослідника цікавить єдиний глобальний екстремум, де досягається шукане оптимальне значення. Нелінійність обмежень може привести до випадку з неопуклою областю допустимих значень, що надзвичайно ускладнює побудову ефективних алгоритмів пошуку оптимальних значень. З цього класу найбільш досліджені задачі з опуклими цільовими функціями при лінійного виду обмеженнях (існує єдиний оптимальний розв'язок). До розв'язування даного класу задач можна залучити ряд стандартних градієнтних або ньютонівських методів розв'язування. Ці методи реалізовані у спеціалізованих пакетах математичного програмного забезпечення.

Прикладом цього класу задач є задача про розміщення складів, коли необхідно мінімізувати загальну суму транспортних і складських витрат при таких обмеженнях:

=> з кожного підприємства повинна бути відвантаженою вся продукція;

=> не може бути перевищеною місткість будь-якого складу;

=> повинні бути задоволені всі замовлення усіх споживачів.

У процесі розв'язування задачі знаходять оптимальну за мінімумом затрат тричленну комбінацію: підприємство - склад - споживач.

Задачі динамічного програмування. Динамічне програмування - це сукупність прийомів для до­сягнення оптимальних результатів у багатокрокових процесах. Воно застосовується для аналізу розподілу капіталовкладень, розміщення заправних баз, визначення оптимальних партій відвантаження матеріалів постачальниками, завантаження контейнерів, оптимального проектування розвитку організації тощо.

Задачі динамічного програмування розв'язують на комп'ютері за допомогою стандартного програмного забезпечення математич­них пакетів.

Теорія масового обслуговування. Системи масового обслуговування (СМО) призначені для виконання потоку заяв або вимог, які надходять на їх вхід у випадкові моменти часу. Кожна СМО складається із деякої кількості каналів обслуговування, якими залежно від виду системи можуть бути: лінії зв'язку, приймальні пункти, робочі точки, під'їзні шляхи, випробувальні стенди, технологічні агрегати, ремонтні бригади тощо. Виконання заявки, що надійшла, тобто її обслуговування, продовжується деякий час (також випадковий), після чого канал звільняється і готовий прийняти наступну заявку.

Розрізняють такі основні СМО та відповідні їм задачі раціональної організації процесів обслуговування:

1. . Системи обслуговування з втратами. Характеризуються тим, що коли вимога не може дочекатися початку обслуговування, вона покидає систему за власною ініціативою чи за ініціативою обслуговуючої системи необслуженою. Очевидно, що такого роду системи завжди складаються з обмеженої кількості обслуговуючих апаратів.

2. Системи обслуговування з очікуванням (або системи без втрат). Характеризуються тим, що вимога, яка надходить в систему, може її покинути лише тоді, коли буде повністю обслужена. У разі обмеженої пропускної здатності системи вимоги вимушені очікувати на обслуговування і створюють чергу. Звідси назва спеціальної галузі теорії, що вивчає цей клас систем, - теорія черг.

3. Системи обслуговування змішаного виду. Цей клас систем займає проміжне становище між першими двома класами систем обслуговування. Характеризується наявністю проміжних умов, які мають властивості як першого, так і другого класу систем. Проміжними умовами тут можуть бути: а) визначена довжина черги, при якій вимога може очікувати на обслуговування; б) обмежений час перебування вимоги в системі.

Методи теорії масового обслуговування створюють ефективний аппарат для оптимального розв'язання багатьох задач менеджменту в організації.

Теорія ігор. Теорія ігор пов'язана з математичними моделями прийняття оптимальних рішень за умов конфлікту. Під конфліктом розуміють будь-яке явище, щодо якого можна говорити про його учасників, про їхні дії, про наслідки явища, до яких ці дії приводять, про сторони, які так чи інакше зацікавлені в цих наслідках, про суть цієї зацікавленості за нетотожності інтересів.

Завдання теорії ігор - знаходження оптимальних стратегій гравців. Стратегія називається оптимальною, якщо вона забезпечує гравцеві максимальний виграш (мінімальний програш) в будь-якому випадку. Необхідно зазначити, що в теорії ігор виключаються елементи ризику і в основі визначення оптимальної стратегії гравця лежить положення про ідеальну (розумну) поведінку його суперника.

Розв'язання такої задачі вимагає певної визначеності у формулю­ванні її умов: встановленні кількості гравців, можливих виграшів. Важли­вим елементом в умові задачі є стратегія, тобто сукупність правил, які залежно від ситуації у грі визначають однозначний вибір одного гравця. Кількість стратегій у кожного гравця може бути кінцевою або нескінчен­ною. Під час дослідження кінцевої гри задаються матриці виграшів, а нескінченної - функції виграшів. Для розв'язання задач застосовується алгебраїчні методи, засновані на системі лінійних рівнянь і нерівностей, ітераційні методи, а також зведення задачі до системи диференційних рівнянь.

Теорію ігор застосовують у математичному моделюванні таких явищ ринкової економіки, як боротьба фірм за ринки, планування рекламних кампаній, формування цін на конкурентних ринках, централізація та децентралізація управління організацією, планування за множиною показників тощо.