Погрешность косвенных измерений а. Числовая оценка и погрешность косвенных измерений

Все сказанное выше относилось к оценке погрешностей прямых измерений, т.е. к случаям, когда интересующая нас физическая величина непосредственно определялась в результате измерений. Однако очень часто для определения какой-либо величины требуется измерить ряд других величин, а искомую найти, подставив найденные значения в формулу, выражающую зависимость искомой величины от непосредственно измеряемых величин. Такие измерения называют косвенными. Рассмотрим, как производится оценка погрешностей косвенных измерений.

Пусть определяемая величина у является функцией нескольких независимо измеряемых величин А, В, С и т.д.: у = f (А, В, С, …). Вопрос о погрешностях решается следующим образом.

Пусть – числовые оценки непосредственно измеряемых величин А, В, С, а ΔА, ΔВ, ΔС,… – отвечающие им погрешности прямых измерений, которые естественно считать независимыми случайными величинами. В качестве числовой оценки величины у берут

,

а абсолютная погрешность Δу определяется по формуле

, (14)

где обозначает, как обычно, частную производную от f по А, В, С и т.д. Частные производные вычисляются при наилучших значениях .

При определении погрешностей косвенных измерений часто удобно вычислять не абсолютную ошибку Δу, а относительную погрешность , так как в некоторых случаях относительную погрешность величины у легко выразить через относительные погрешности непосредственно измеряемых величин . Так, например, если

, (15)

то , (16)

где α, β, , … – любые числа, целые или дробные, положительные или отрицательные. Методом подстановки любую функцию можно привести к виду (15).

При использовании формул (14) и (16) погрешности A, B, C, … могут быть получены либо из опыта (если А, В, С, … непосредственно измерены), либо найдены путем вычисления (если значения А, В, С, … сами получены в результате расчетов).

Б. Учет погрешностей, обусловленных неточностью математических и физических констант, табличных данных и т.Д.

Искомая величина у может зависеть не только от экспериментально найденных величин А, В, С, … но и ряда других параметров а, b, с, …:

y = f(A, B, C, …, а, b, с, …).

Это могут быть математические константы (π, е, ln2, …), универсальные и другие физические константы – заряды и массы элементарных частиц, ускорение свободного падения на Земле, данные ранее проведенных экспериментов, табличные данные и т.д. Во всех случаях точность задания этих величин не должна быть ниже точности измеренных величин.

Рассмотрим пример. Для определения площади круга измеряют его диаметр и вычисляют площадь по формуле:

.

Наряду с измеряемой величиной D в выражение для площади входит число π = 3,14159…, которое мы обычно округляем до 3,14. Рассматривая число π как число, заданное с погрешностью Δπ, для ΔS/S по формуле (16) находим:

.

Относительная неточность задания π, т.е. величина Δπ/π, должна быть меньше 2ΔD/D. При округлении π до 3,14 мы допускаем абсолютную ошибку Δπ = 0,002, так что Δπ/π = 0,06%. Этой ошибкой можно пренебречь по сравнению с 2ΔD/D, если точность измерения D менее 0,05%.

Аналогично решается задача о точности задания и других коэффициентов и констант, присутствующих в расчетных формулах.