Контрольные вопросы

1. Что называется абсолютно твердым телом?

2. Дайте определение момента инерции материальной точки и тела относительно оси вращения.

3. Выведите формулу для кинетической энергии вращающегося тела.

4. Что представляет собой трифилярный подвес?

5. Какие явления называются подобными?

6. Что называется инвариантом подобия?

7. Как, используя теорию подобия, определить момент инерции тела человека?

Литература

1. Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика. – М.: Высшая школа, 1999. – §5.2.

2. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1997. – §§16, 17, 18.

3. Лаврова И.В. Курс физики. – М.: Просвещение, 1981. – §§10, 12.

Лабораторная работа № 3

Сложение гармонических взаимно перпендикулярных колебаний

Цель работы: изучение закона сложения гармонических взаимно перпендикулярных колебаний на «песочном маятнике»; получение траектории сложного движения.

Приборы и принадлежности: «песочный маятник», воронка, песок, секундомер, мас­штабная линейка.

Простейшим видом колебательных движений является гармоническое колебание.

Оно возникает в том случае, если на тело, выведенное из положения равновесия, дейст­вует сила, направленная всегда к положению равновесия, а по величине пропорцио­нальная смещению тела от положения равновесия. Таким образом, можно написать

F = – ks,

где F – сила, под действием которой тело совершает гармоническое колебание, s – сме­щение тела от положения равновесия, k – некоторый постоянный коэффициент.

Это выражение можно написать и в таком виде

, (1)

где m – масса колеблющегося тела и – его ускорение, которое выражено в дифференциальной форме, так как в колебательном движении оно является величиной пере­менной. Решением уравнения (1) есть функция синуса (или косинуса)

s = a sin (t + ), (2)

которое описывает гармоническое колебание величины s, где а – амплитуда колебания,  круговая (циклическая) частота,  – начальная фаза колебания в момент вре­мени t = 0, (t + ) – фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как синус изменяется в пределах от +1 до –1, то s может принимать значения от +а до –а. Циклическая часто­та связана с периодом колебаний соотношением , где Т – период колебаний, т.е. период времени, за который фаза колебаний получает приращение 2.

При изучении колебательных движений большой интерес представляют вопросы, связанные со сложением колебаний. Ограничимся анализом сложения взаимно перпен­дикулярных гармонических колебаний. Если материальная точка участвует одновре­менно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях одинаковой часто­ты в направлении осей х и у, то ее смещение по этим направлениям в любой момент времени равно

х = а cos t (3)

у = b cos (t + ),

где a, b – амплитуды колебаний,  – одинаковая для обоих колебаний циклическая частота,  – начальная разность фаз. Выражение (3) представляет собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой движется тело, участвующее в обоих колебаниях. Для получения уравнения траектории в обычном виде в координатной форме исключим из уравнения (3) параметр t.

Записывая складываемые колебания в виде

;

и заменяя во втором уравнении cos t на и sin t на , получим после несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относитель­но координатных осей произвольно (рис.1б):

. (4)

Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз . Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес:

а) если разность фаз колебаний равна нулю или четному числу , т.е. , то из уравнения (4) находим

,

т.е. уравнение прямой, которая геометрически изображается диагональю АС прямо­угольника ABCD (рис.2а), построенного на складываемых колебаниях. Диагональ АС следует рассматривать как эллипс предельного вида, вытянутый в отрезок прямой ли­нии, т.е. с малой осью, равной нулю.

б ) Если разность фаз колебаний равна нечетному числу , т.е. , то из этого же уравнения находим:

,

т.е. уравнение прямой, второй диагонали BD, того же прямоугольника (рис.2б), которая также является предельным случаем эллипса.

в) Если разность начальных фаз складываемых колебаний равна , то получаем:

,

т.е. уравнение эллипса, отнесенное к осям х, у (рис.2в).

г ) Если, кроме того, в последнем случае амплитуды обоих колебаний равны, то получа­ем: х² +у² = а² , т.е. уравнение окружности (рис.2г) радиуса а.

При сложении двух гармони­ческих колебаний с разными перио­дами колебаний траектория суммар­ного колебания оказывается значи­тельно сложней: она определяется относительной величиной амплитуд обоих колебаний, отношением их периодов (частот) и разностью на­чальных фаз. При сложении взаимно перпендикулярных колебаний получаются периодические (замкнутые) кривые различного вида, называемые фигурами Лиссажу. Некоторые из них даны на рис.3. Отношение периодов указано на рисунке.