2.1.3. Спектральное представление непериодических функций

Разложение в тригонометрический ряд Фурье (2.10) может быть обобщено на случай непериодических функций путем устремления периода к бесконечности или . Для этого запишем (2.10) так:

, (2.13)

где - частотный разнос между линиями спектра периодического сигнала.

Введем в рассмотрение текущую частоту спектра и определим спектральную плотность по Фурье непериодического сигнала:

. (2.14)

Тогда из (2.13) при следует представление

, (2.15)

а из (2.11) и (2.14) следует формула для определения спектральной плотности

. (2.16)

Согласно (2.15) непериодическая функция представляется суммой гармонических компонент (на положительных и отрицательных частотах) с бесконечно малыми амплитудами . Модуль определяет сплошной (непрерывный) спектр непериодического сигнала, а - сплошной (непрерывный) фазовый спектр непериодического сигнала. Спектр по Фурье можно записать в виде

,

где

- четная функция частоты;

- нечетная функция частоты. (2.17)

Из (2.17) видно, что для вещественных функций амплитудный спектр является четной функцией, фазовый спектр - нечетная функция частоты. Дискретный (линейчатый) спектр амплитуд периодического сигнала можно найти по формуле

. (2.18)

2.2. Описание лабораторного стенда

Лабораторная работа «Спектральный анализ детерминированных сигналов» выполняется с помощью функционального модуля «Спектры и корреляционные функции» многофункционального лабораторного стенда. Структурная схема модуля представлена на рис.2.2.

Рис.2.2. Структурная схема модуля для исследования спектральных характеристик сигналов

Модуль состоит из генератора сигналов специальной формы, позволяющего получить сигналы треугольной, пилообразной, прямоугольной и дельтовидной формы, сумматора, устройства вычисления производной сигнала, перемножителя и фильтра низкой частоты. Через переключатель сигнал с выхода генератора поступает на сумматор. Наличие разъемов XS1 и XS2 позволяет подавать сигнал на устройство вычисления производной. На вход XS3 подается сигнал с низкочастотного генератора. После перемножения сигнал подается на вход фильтра низкой частоты, выполняющего роль интегратора.

2.3. Лабораторное задание

1. Исследование спектра сигналов различной формы. Установить переключатель SA1 в верхнее положение, а переключатель «Вид сигнала» в положение . Используя осциллограф, проконтролировать на разъеме XS1 наличие и форму сигнала и определить частоту следования импульсов. С выхода НЧ генератора подать гармонический сигнал с амплитудой 1В и частотой на разъем XS3. Плавно изменяя частоту в обе стороны, необходимо добиться на осциллографе максимального значения амплитуды частоты биений. Аналогичные действия проделать для частот , , , . По полученным данным построить график спектра сигнала. Измерения повторить для пилообразного, прямоугольного и дельтовидного сигналов.

2. Исследование спектра производной сигналов различной формы. Соединить разъемы XS1 и XS2. Установить переключатель SA1 в нижнее положение, а переключатель «Вид сигнала» в положение . Используя осциллограф, проконтролировать на разъеме XS1 наличие и форму сигнала и определить частоту . С выхода НЧ генератора подать гармонический сигнал с амплитудой 1В и частотой на разъем XS3. Плавно изменяя частоту в обе стороны, необходимо добиться на осциллографе максимального значения амплитуды частоты биений. Аналогичные действия проделать для частот , , , . По полученным данным построить график спектра сигнала. Измерения повторить для пилообразного, прямоугольного и дельтовидного сигналов.