1.1. Загальні положення

Сумісне визначення x і y може бути виконано по виміряним зенітним віддалям світил мінімум у двох вертикалях, причому для отримання обох шуканих величин з рівною вагою ( Рх = Ру ) спостереження світил повинні виконуватися або при рівномірному їх розташуванні по азимутам, або в площинах двох любих взаємно перпендикулярних вертикалів симетрично відносно зеніту. Теорія способу сумісного визначення x і y (  і  або  і  ) по виміряним зенітним віддалям n світил в різних вертикалях являється теорією найбільш загальної задачі зенітальних способів астрономічних визначень.

Суть даного способу лежить у вимірюванні зенітних віддалень n світил (n  3), рівномірно розташованих по азимутам. Зенітні віддалі світил рекомендується вибирати в межах від 10 до 60 .

Для кожного спостереженого світила складається рівняння поправок

ar + b_ix + c_iy + l_i = v_i з вагою  = 1 (10.1)

Із рішення n рівнянь поправок по методу найменших квадратів находять значення умовних складових відхилення прямовисної лінії x і y . Далі за формулами

 = ₀  ;  = ₀   + sec  (10.2 )

обчислюють астрономічні широту і довготу пункту. У випадку необхідності можна обчислити астрономо – геодезичні складові відхилення прямовисної лінії  і .

Замітимо, що ця ж задача може бути вирішена з геодезичними координатами пункту B і L за формулами

ar + b_i + c_i + l_ii = v_i з вагою _i = 1 (10.3)

Оцінка точності зрівноважених значень визначаємих величин виконується відповідно за формулами

(10.4)

(10.5)

Необхідно відмітити, що при спостереженнях світил на різних зенітних віддалях на результати вимірів будуть у повній мірі впливати невраховані систематичні похибки, які діють у функції зенітних віддалей спостерігаємих світил (остаточний вплив рефракції, невраховані похибки гнуття труби приладу, систематичні похибки діаметрів вертикального круга і т.і.).

В результаті цього для точних астрономічних визначень даний спосіб не застосовується. Для наближених астрономічних визначень він має цілий ряд переваг, тому що дозволяє в короткий термін по спостереженням невеликого числа світил отримати координати  і . Для спостереження вночі спосіб не потребує складання спеціальних ефемерних зірок. Для визначень використовують яскраві зірки, вибір яких виконується візуально. Внаслідок цього спосіб являється гнучким і він дозволяє виконувати спостереження у важких метереологічних умовах – спостерігати зірки у просвітах хмар, що неможливо виконати другими способами. При наявності ефемерид яскравих зірок спосіб з успіхом можна застосовувати у денний час. При цьому в програму спостережень можна включати також Сонце і планети. Завдяки вказаним перевагам спосіб находить широке застосування при розвитку опорних геодезичних мереж спеціального призначення, в різних експедиційних умовах, в авіаційній і морській астрономії.

В залежності від необхідної точності отримання астрономічних координат, приладів, що застосовуються, і методики вимірів, визначення астрономічних пунктів даним способом звичайно виконують із спостереження двох – трьох серій зірок по 6 – 8 зірок в кожній серії.

При розрахунку необхідності точності значення середньої квадратичної похибки одиниці ваги  приймається із досвіду спостереження даним приладом, а значення ваг зрівноважених значень невідомих підраховується на основі формул

Pr = n; Px = ; Py = ; (10.6)

для випадку рівномірного розприділення світил по азимутам.

Наприклад, для спостережень теодолітом У5 методом “Око – вухо”  число зірок в одній серії n = 6 Рх = Ру = , отримаємо

m_x = m_φ = μ

m_y = μ

m_λ΄ =

Необхідно відмітити, що приведені значення середніх квадратичних похибок дають характеристику точності по внутрішній сходимості результатів спостережень. Враховуючи вказану вище дію систематичних похибок вимірювання зенітних віддалей світил, дійсна точність визначень даним способом буде дещо нижчою ніж отримана по апріорним підрахункам.

Ідея способу сумісного визначення  і . була відома давно. Його розробки велись багатьма астрономами.

В морехідній астрономії, а також в другій спеціальній літературі він відомий по імені англійського моряка Сомнера. Однак слід відмітити, що Сомнер дав лише графічний метод обробки спостережень зенітної віддалі Сонця на географічній карті в проекції Меркатора (1843р.). Ця ж задача була вирішена дещо раніше російським моряком Акімовим (1839р.)