1.1. Интеграл Бернулли и усложненная термодинамика.

В термодинамике энтальпия единицы массы газа определяется как

(2)

Следовательно, при малых изменениях . Согласно 1 началу термодинамики , если dq=0 (процесс адиабатический), то di=dp/ρ. Тогда интеграл Бернулли, с учетом связи , будет

(3)

Здесь i₀ – значение энтальпии при q=0.

Если в (3) включить (2), то имеем . Здесь E- внутренняя энергия, состоящая для многоатомных газов из энергий поступательного, вращательного и колебательного процессов.

Сообщается об особенностях записи интеграла Бернулли для двухатомных газов, неравновесных процессов.

1.2. Интеграл Лагранжа.

Сделаем предположения:

1) жидкость идеальная; 2) баротропная; 3) массовые силы консервативны; 4) движение безвихревое. Тогда, для безвихревого движения идеальной жидкости уравнение движения будет иметь вид в форме Громека

. (4)

Т.к. жидкость баротропна, то

(5)

По допущения 3) имеем . Из 4) следует, что . С учетом этих положений получим

. (6)

Из (6) следует, что

. (7)

(7) – интеграл Лагранжа.

1.3. Интеграл Эйлера-Бернулли. Предположим, что выполняются предположения для вывода интеграла Лагранжа и движение установившееся. Тогда имеет место (7). Поскольку v_x, v_y, v_z и φ не зависят от времени, то f(t) переходит в постоянную:

. (8)

Здесь постоянная С одна и та же для всего потока в отличие от интеграла Бернулли, в котором С на разных линиях тока различна.

2. Основные теоремы динамики жидкости

Теорема Бернулли для сжимаемой жидкости. При выводе теоремы используется такой же метод, как и в случае несжимаемой жидкости. Однако здесь учитывается внутренняя энергия газа. В результате ТБ имеет форму

вдоль линии тока, откуда получаем dp=-ρqdq.

Применение ТБ к адиабатному расширению. При адиабатном расширении газа имеет место

+ , . Т.к. величина p₀/ρ₀ относится к начальному состоянию, то она является константой. Из ТБ имеем

. (1)

Теорема Торричелли. Формулировка теоремы в задачах об истечении из резервуара сводится к связи для скорости истечения . Выражение получено с использованием ТБ.

Теорема Эйлера о количестве движения. Утверждает, что если пренебречь массовыми силами, то результирующая сила, обусловленная давлением окружающей жидкости стенки и концы трубки, эквивалентна силам и , приложенным к концевым сечениям и направленным по внешним нормалям к ним.

Парадокс Даламбера. Рассматривается прямая трубка, в которой течет невязкая жидкость с постоянной скоростью. Если в середину трубки поместить тело, поток вблизи него изменится, но вдалеке от входа и выхода поток остается невозмущенным. Чтобы тело было в покое к нему необходимо приложить силы. Парадокс Даламбера состоит в том, что в указанных условиях компонента силы в направлении потока равна нулю. Следовательно, сопротивление тела, движущегося с постоянной скоростью в неограниченной невязкой покоящейся жидкости, будет равно нулю.

Определения. Вихрь. Вектор наз. вектором вихря. Вихревая линия – линия в жидкости, касательная в каждой точке которой направлена вдоль вектора вихря в этой точке. Если вихрь отличен от нуля, то движение вихревое и наоборот. Циркуляция представляется в одной из следующих форм:

(2)

Теорема Гаусса. Формулировка теоремы сводится к выражению

. (3)

Здесь X – скалярная или векторная функция, зависящая от координат точки в пространстве, V – объем, S – поверхность объема. Следствия теоремы сводятся к равенствам:

, , и т.д.

Теорема Грина. Содержание теоремы сводится к следующему соотношению:

. (4)

Соотношение (4) - первое тождество Грина. Второе тождество Грина имеет вид

. (5)

Данные теоремы и их результаты важны при анализе многосвязных поверхностей. Формулы позволяют определять значение функции в произвольной точке внутри области через значения этой функции на границе области.

Кинетическая энергия жидкости. Определяется интегралом , взятым по объему V, занимаемому жидкостью. Если движение безвихревое, то . Следовательно, если потенциал скоростей φ однозначен, то из условия и теоремы Грина имеем:

. (6)

Здесь интегралы берутся по граничной поверхности жидкости, при этом dn обозначает элемент нормали, проведенной внутрь жидкости.

Физическая интерпретация. Т.к. действительное движение может возникнуть из состояния покоя под действием импульсивного давления ρφ и поскольку - скорость жидкости, нормальная к границе, то величина - работа, совершенная за единицу времени импульсивным давлением, действующим на элемент ΔS в соответствии со следующей теоремой динамики.

Работа, совершенная импульсом за единицу времени, равна произведению импульса на полусумму компонент в его направлении начальной и конечной скоростей точки, на которую он действует. Следовательно, поверхностный интеграл представляет собой работу, совершаемую импульсивным давлением, если движение начинается из состояния покоя.

Теорема Кельвина о минимуме энергии. Безвихревое движение жидкости, занимающей односвязную область, имеет меньшую кинетическую энергию, чем любое другое движение с теми же самыми нормальными компонентами скорости на границе. Доказательство приводится.