4. Статическое давление жидкости на твердые поверхности. Закон Архимеда

Рассмотрим в жидкости какую-либо поверхность АВ площадью S (рис. 8).

Рис. 8

Равнодействующая R сил давления, действующих на эту поверх­ность, и их момент равны , (26) , (27) где ň - внешняя нормаль, направленная внутрь жидкости, ř - радиус-вектор точки на АВ.

В случае несжимаемой жидкости, находящейся в ноле сил тяжести, давле­ние в точках поверхности АВ в соответ­ствии с формулой (13) равно

, (28)

где р_и - давление на свободной поверхности. С учетом формулы (14) равенство (28) может быть представлено как

. (29)

Рис. 9.

Пусть поверхность АВ представляет собой плоскость, наклоненную к горизонту под углом α (рис. 9). Все векторы ň параллельны друг другу и из равенств (26), (28) и (29) имеем (30) Так как , где hцт -расстояние от свободной поверхности до центра тяжести плоско­сти АВ, то из формулы (30) следует, что . (31)

где р_цт =р₀ +ρgh_цт =р_ат + pg{h_цт +H_П) - давление в центре тяжести АВ.

Если сила Ř рассчитывается не по абсолютному давлению, а по избы­точному, то очевидно, что

(32)

Определим положение центра давления, то есть точки приложения рав­нодействующей Ř. Момент Mх этой силы относительно оси Ох, проходящей через центр тяжести плоскости АВ (рис. 9), равен

(33)

где λ_Д - расстояние от центра тяжести АВ до центра давления, l - расстояние от центра тяжести до элемента dS.

Из рис. 9 видно, что h=(l_цт +l)sinα. Подставив это выражение в фор­мулу (33), получим

(34)

Имея в виду, что статический момент площади S относительно оси, проходящей через ее центр тяжести, равен нулю, то есть, что

,

где J - момент инерции площади S относительно той же оси, из форму­лы (34) получим, с учетом равенства (31),

Если расчет силы R ведется по избыточному давлению, то в соответствии с (32)

Если p_цт >p_ат, то λ_Д >0 и центр давления лежит ниже центра тяжести.

Рассмотрим случай криволинейной поверхности АВ. Проектируя равен­ство (26) на вертикальную ось 0z и какую-либо из горизонтальных осей, например, Ох, получим

(35)

(36)

где dS_г, dS_в,-проекции dS соответственно на горизонтальную плоскость, перпендикулярную Oz, и вертикальную плоскость, перпендикулярную Ох.

Подставив в равенства (35) и (36) значение p из (29), имеем

(37)

(38)

Интеграл

представляет собой объем тела давления V_тд, образованный поверхностью АВ, ее проекцией на пьезометрическую плоскость и вертикальными образующими. Формулу (37) можно представим, в виде

(39)

Интеграл

представляет собой статический момент вертикальной проекции S_в.относительно пьезометрической плоскости. Поэтому из (38) имеем

. (40)

где р_цт - давление в центре тяжести площади S_в.

Для сил, рассчитанных по избыточному давлению, вместо формул (39) и (40) имеем

Заметим, что формула (31) совпадает с формулой (40), если в ней заме­нить S на .S'_B.

Примеры построения тел давления приведены па рис. 10. На рис. 10a объем тела давления, построенный па поверхности АВ, находится в жидко­сти. На рис. 10б объем тела давления лежит вне жидкости. Такое тело дав­ления называется фиктивным и ему присваивается знак «-». На рис. 10в представлен случай, когда вертикальные образующие пересекают поверх­ность АВС более чем в одной точке. Поэтому тела давления строятся отдель­но для участков АВ (тело ABDE) и ВС (тело CBED).

Рис. 10.

Вертикальная составляющая сил давления на ABC определяется как разность вертикальных со­ставляющих сил, действующих на АВ и ВС.

Если поверхность S замкнутая и целиком погруженная в жидкость, то в соответствии с формулой (26) и теоремой Гаусса-Остроградского

, (41)

где V - объем жидкости, ограниченный поверхностью S. В ноле силы тяже­сти в соответствии с уравнением Эйлера (2) и из (41) получим

(42)

где Ğ - вес жидкости в объеме V. Формула (42) выражает закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила R , равная весу жидкости в объеме погруженного тела. Сила R называется также гидро­статической подъемной силой.

Из формулы (27) и георемы Гаусса-Осгроградского имеем

. (43)

Радиус-вектор и, следовательно,

Подставив это соотношение в формулу (43) и учитывая, что , а .

Получим

(44)

Радиус-вектор центра тяжести объема К равен

и формулу (44) с учетом равенства (42) можно представить в виде

откуда следует, что линия действия гидростатической подъемной силы Ř

проходит через центр тяжести объема V.