4. Тензор напряжений

Когда жидкость покоится, в ней существует однородное поле гидростатического давления (отрицательное давление -p). Если же жидкость движется, то уравнение состояния должно определять также давление в каждой точке (принцип локального состояния), и поэтому нормальные напряжения есть

. (1)

Нормальные и касательные напряжения образуют симметричный тензор напряжений, существование которого обязано движению. Полная интерпретация требует воспользоваться тензорным исчислением (см. сноски).

4.1. Идеальная жидкость, ее тензор напряжений

Жидкость называется идеальной, если в ней отсутствуют касательные напряжения и наблюдаются только нормальные напряжения. В реальных жидкостях касательные напряжения не равны нулю, но часто встречаются случаи, когда касательные напряжения малы по сравнению с нормальными. Именно в этих случаях рассматривают среды, как идеальные.

Во всех случаях справедлива формула Коши

. (1)

По определению идеальной жидкости

. (2)

Подставляя (2) в (1), имеем

. (3)

Поскольку

, (4)

из (3) следует, что

. (5)

Формулы (2) перепишутся в виде

. (6)

Из (6) следует, что в идеальной жидкости величина нормального напряжения не зависит от ориентировки площадки. Величина p наз. давлением. Из (6) следует, что составляющие тензора напряжений . Тензор напряжений идеальной жидкости будет иметь вид

. (7)

5. Вязкая жидкость

Вязкой жидкостью наз. жидкость, в которой при движении кроме нормальных напряжений наблюдаются и касательные напряжения. Причиной вязкости касательных напряжений является хаотическое движение молекул, переход из слоя в слой создает торможение движущихся слоев относительно друг друга.

Жидкость наз. вязкой ньютоновской, если выполнены условия:

1. в жидкости, когда она движется как абсолютно твердое тело или находится в покое, наблюдаются только нормальные напряжения;

2. компоненты тензора напряжений есть линейные функции компонент тензора скоростей деформаций;

3. жидкость изотропна, т.е. ее свойства одинаковы по всем направлениям

Условия 1) означает, что , если все . Условие 2) означает, что могут быть представлены через , учитывая симметрию тензора напряжений. Условие 3) означает, что коэффициенты в связи через не зависят от выбора системы координат.

Таким образом, связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций в любых осях координат имеет вид

. (1)

Из (1) составляющие тензора напряжений в вязкой жидкости будут:

;

; (2)

.

Замечание. Если , то тензор напряжений вязкой жидкости обращается в тензор напряжений идеальной жидкости. Здесь μ – коэффициент сдвиговой вязкости, λ – коэффициент объемной вязкости.

5.1. Нетеплопроводная среда.

Жидкость называется нетеплопроводной, если вектор потока тепла q равен нулю. Схему нетеплопроводной жидкости используют в случае, когда явление теплопроводности оказывает малое влияние на физический процесс, и обычно принимают одновременно с предположением об идеальной жидкости.

Уравнение энергии для идеальной нетеплопроводной жидкости имеет вид:

. (3)

Для широкого класса изотропных сред справедлив закон теплопроводности Фурье: количество тепла dq, прошедшее внутрь за время dt через площадку dS с нормалью n, пропорционально dSdt и производной от температуры по нормали: .

Жидкость называется несжимаемой, если ее плотность в частице при движении сохраняется. В переменных Эйлера это означает:

или . (4)

При условии (4) уравнение неразрывности будет . Схему несжимаемой жидкости используют при рассмотрении движений капельных жидкостей, а также при рассмотрении движений газов с небольшими скоростями.

5.2. Сжимаемая жидкость. В общем случае плотность является функцией давления и температуры. Уравнение, связывающее плотность давление и температуру – уравнение состояния

Ф (ρ, p, T)=0. (5)

Для идеальных в термодинамическом смысле газов уравнение состояния – уравнение Клапейрона

, (6)

где V – уд. объем, R₀ – универсальная газовая постоянная. Этому уравнению подчиняются многие газы, если давление p не очень большое и температура T не слишком низкая. При более высоких давлениях часто используют уравнение Ван дер Ваальса

. (7)