Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Вероятность события в при условии, что произошло событие а, называется условной вероятностью события в и обозначается так: р(в/а), или ра(в).

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

Р(АВ)=Р(А)Р_А(В).

Событие В не зависит от события А, если

Р_А(В)=Р(В),

т.е. вероятность события В не зависит от того, произошло ли событие А.

Теорема умножения вероятностей двух независимых событий. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Пример 2.17. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р₁ = 0,7; р₂ = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение.

Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А – «попадание первого орудия» и В – «попадание второго орудия» независимы.

Вероятность события АВ – «оба орудия дали попадание»:

Искомая вероятность

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Теорема умножения вероятностей п событий. Вероятность произведения п событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:

Пример 2.18. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором – черный (событие В) и при третьем – синий (событие С).

Решение.

Вероятность появления белого шара в первом испытании:

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность:

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором — черный, т. е. условная вероятность:

Искомая вероятность равна:

Теорема умножения вероятностей п независимых событий. Вероятность произведения п независимых событий равна произведению их вероятностей:

Р(А₁А₂…А_п)=Р(А₁)Р(А₂)…Р(А_п).

Вероятность появления хотя бы одного из события. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂, …, А_п, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

.

Пример 2.19. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р₁ = 0,8; р₂ = 0,7; р₃ = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение.

Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A₁ (попадание первого орудия), А₂ (попадание второго орудия) и А₃ (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям А₁, А₂ и А₃ (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

, , .

Искомая вероятность равна:

.

Если независимые события А₁, А₂, …, А_п имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий выражается формулой:

Р(А)= 1 – qⁿ,

где q=1- p