Литература:

1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. — 9-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2003. — с. 66 – 74.

2. Гусак А.А. Теория вероятностей: справ. Пособие к решению задач / А.А. Гусак, Е.А. Бричикова. – 6-е изд. – Минск: ТетраСистемс, 2007. – с. 184 – 244.

Контрольные вопросы:

1. Какое распределение случайной величины называется нормальным?

2. Какое распределение случайной величины называют биноминальным?

3. Какое распределение случайной величины называют равномерным?

4. Какое распределение называют распределением Пуассона?

Задания для самостоятельного решения

Задание 5.1. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа стандартных деталей среди отобранных.

Задание 5.2. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически: средняя масса одной коробки – 1,06 кг. Известно, что только 5% коробок имеют массу меньше 1 кг. Найти стандартное отклонение, предполагая, что масса коробок распределена нормально.

Задание 5.3. Найти математическое ожидание случайной величины X, равномерно распределенной в интервале (а, b).

Тема 6 Двухмерные случайные величины

6.1. Понятие о системе нескольких случайных величин

6.2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины

6.3. Функция распределения двумерной случайной величины

6.4. Плотность непрерывной двумерной случайной величины

6.5. Числовые характеристики непрерывной системы двух случайных величин

6.1. Понятие о системе нескольких случайных величин

До сих пор рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие величины называют одномерными.

Кроме одномерных случайных величин изучают величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя, ..., п числами. Такие величины называются соответственно двумерными, трехмерными, . . ., п -мерными.

Будем обозначать через (X, Y) двумерную случайную величину. Каждую из величин X и У называют составляющей (компонентой); обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Аналогично п -мерную величину можно рассматривать как систему п случайных величин. Например, трехмерная величина (X, У, Z) определяет систему трех случайных величин X, У и Z.

Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны.

Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.

6.2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т. е. пар чисел (х_i, y_j) и их вероятностей p(х_i, y_j)(i = 1, 2, .... n; j = 1, 2, .... m).

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины может быть задан:

а) в виде таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности;

б) аналитически, например в виде функции распределения.

Чаще закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом.

Первая строка таблицы содержит все возможные значения составляющей X, а первый столбец — все возможные значения составляющей У. В клетке, стоящей на пере-

пересечении столбца х_i и строки y_j, указана вероятность Р (х_i, y_j) того, что двумерная случайная величина примет значение (х_i, y_j).

Так как события образуют полную группу, то сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таблицы, равна единице.

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Так как события (X=х_l; Y=y₁), (Х = х₁; У=у₂), .... (Х= х₁; Y= y_m) несовместны, поэтому вероятность Р (х₁) того, что X примет значение x₁ по теореме сложения такова:

P(x_l)==p(x₁, y₁) + p(x₁, y₂)+ . . . +p(x₁, y_m).

Таким образом, вероятность того, что X примет значение х₁, равна сумме вероятностей столбца x₁.

Пример 6.1. Найти законы распределения составляющих двумерной случайной величины, заданной законом распределения.

Y	Х
	х1	х2	х3
y1	0,1	0,3	0,2
y2	0,06	0,18	0,16

Решение:

Сложив вероятности по столбцам, получим вероятности возможных значений Х:

Р (х₁) = 0,16; Р(х₂) = 0,48; Р(х₃)=0,35.

Напишем закон распределения составляющей X:

Х	х1	х2	х3
Р(х)	0,16	0,48	0,35

Контроль: 0,16 + 0,48 + 0,35 = 1.