1.3.Понятие факториала
п-факториал - произведение всех натуральных чисел от 1 до п включительно.
.
Пример 1.4. 1) ,
2)
.
Следует отметить, что 0! = 1.
1.4. Перестановки
Перестановки –
комбинации из n
элементов, которые отличаются друг от
друга только порядком элементов. Общее
число перестановок из n
элементов обозначается
и равно:
.
Пример 1.5. Из букв A, B, C можно составить следующие перестановки:
ABC, ACB,
BAC, BCA,
CAB, CBA.
Всего
перестановок
Причем они отличаются друг от друга
только порядком расположения букв.
Пример 1.6. Сколькими способами можно расставить на книжной полке собрание сочинений Диккенса, включающее 30 томов?
Решение:
Каждый такой способ — это перестановка из 30 элементов. Всего таких перестановок будет
30!
= 265 252859 812191058636308 480 000000.
Число перестановок с повторениями можно найти применив формулу:
1.5. Размещения
Размещения – комбинации из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами или их порядком.
Размещения
обозначаются
,
где n – числи всех имеющихся элементов,
m – число элементов к каждой комбинации.
При этом полагают,
что
.
Число размещений можно вычислить по
формулам:
.
Пример 1.7. Пусть имеются четыре буквы А, В, С, D. Составив все комбинации только из двух букв, получим: АВ, АС, АD,
ВА, ВС, ВD,
СА, СВ, СD,
DA, DB, DC.
Все полученные комбинации отличаются или буквами, или порядком (комбинации ВА и АВ считаются различными). Кратко это можно записать так:
Пример 1.8. На книжную полку влезает только 8 любых томов из 30-томного собрания Диккенса. Сколькими способами можно заполнить этими томами такую полку?
Решение:
Каждый способ — это размещение из 30 элементов по 8. Всего таких размещений будет
Число размещений с повторениями равно:
.
Сочетания
Сочетания – все возможные комбинации из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом.
Сочетания обозначаются
и находятся по формуле:
.
Пример 1.9. Из четырех различных букв А, В, С, D можно составить следующие комбинации, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом: АВ, АС, АD, ВС, ВD, СD.
Значит число сочетаний из четырех элементов по два равно 6.
Это можно найти и по вышеприведенной формуле:
Для сочетаний справедливы равенства:
,
,
.
Число перестановок, размещений и сочетаний связаны равенством:
Литература:
Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. — 9-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2003. — с.22 – 23.
Гусак А.А. Теория вероятностей: справ. Пособие к решению задач / А.А. Гусак, Е.А. Бричикова. – 6-е изд. – Минск: ТетраСистемс, 2007. – с.13 – 21.
Контрольные вопросы:
В чем сущность комбинаторики?
Сформулируйте правило сложения.
Сформулируйте правило умножения.
В чем отличие выбора элементов с возращениями и без возращений?
Что называют перестановками?
По какой формуле вычисляют число перестановок из п различных элементов?
По какой формуле вычисляют число перестановок из п различных элементов с повторениями?
Что называют размещениями?
По какой формуле вычисляют число размещений из п различных элементов по m элементов?
Что называют сочетаниями?
По какой формуле вычисляют число сочетаний из элементов п различных элементов по m элементов?
Каким равенством связаны числа перестановок, размещений и сочетаний?
Чем отличаются сочетания от размещений? Что и во сколько раз больше?