Каждое событие, которое может наступить в итоге опыта, называются элементарным исходом (элементарным событием, шансом).

Пример 2.8. События А_i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) – «верхней гранью, появляющейся при подбрасывании игрального кубика, оказалась грань с цифрой i» – элементарные исходы.

Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называются благоприпятсвующими этому событию, или благоприятными.

Пример 2.9. При подбрасывании игрального кубика элементарные исходы А₂, А₄, А₆ являются благоприятными для события «выбыло четное число».

2.3. Операции над событиями

Дадим определения действий, которые можно производить над событиями.

Если при всяком испытании, при котором происходит событие А, происходит и событие B, то событие А называется частным случаем события B.

  Говорят также, что А влечет за собой B и пишут:

А  B  или  B  A.

Пример 2.10. При бросании игральной кости событие А, состоящее в появлении двух очков, есть частный случай события B, состоящего в появлении четного числа очков.

 Если А влечет за собой B, а B влечет за собой А, то эти события равносильны, так как они вместе наступают или вместе не наступают.

Суммой двух событий  и  называется событие +  , состоящее из элементарных событий, принадлежащих хотя бы одному из событий  или .

Пример 2.11. Суммой событий А – «появление одного очка при бросании игральной кости» и события В – «появление двух очков при бросании игральной кости» является событие А + В – «появление не больше двух очков при бросании игральной кости»

Произведением двух событий  и  называется событие  , состоящих из элементарных событий, принадлежащих одновременно  и .

Пример 2.12. Если событие А – «деталь годная», событие В – «деталь окрашенная», то событие АВ – «деталь годна и окрашена».

Разностью двух событий  и  называют событие \, состоящее из элементарных событий, которые входят в событие .

Операции над событиями подчинены следующим правилам:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.

2.4. Классическая вероятность и ее свойства

Вероятность — одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим.

Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта, в котором может появиться это событие.

Вероятность события А обозначают через Р(А) (здесь Р – первая буква французского слова probabilite – вероятность).

В соответствии с определением

,

где – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события ;

- общее число возможных элементарных исходов испытания.

Это определение вероятности называют классическим. Оно возникло на начальном этапе развития теории вероятностей.

Часто число называют относительной частотой появления события А в опыте.

Чем больше вероятность события, тем чаще оно наступает, и наоборот, чем меньше вероятность события, тем реже оно наступает. Когда вероятность события близка к единице или равна единице, то оно наступает почти при всех испытаниях. О таком событии говорят, что оно практически достоверно, т. е. что можно наверняка рассчитывать на его наступление.

Наоборот, когда вероятность равна нулю или очень мала, то событие наступает крайне редко; о таком событии говорят, что оно практически невозможно.

  Иногда вероятность выражают в процентах: Р(А) • 100% есть средний процент числа появлений события A.

Пример 2.13. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение.

Обозначим через А событие — «набрана нужная цифра».

Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна).

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

  Формула классической вероятности дает очень простой, не требующий проведения экспериментов, способ вычисления вероятностей. Однако простота этой формулы очень обманчива. Дело в том, что при ее использовании возникают, как правило, два очень непростых вопроса:

1. Как выбрать систему исходов опыта так, чтобы они были равновозможны, и можно ли это сделать вообще?

2. Как найти числа m и n?

Если в опыте участвуют несколько предметов, равновозможные исходы увидеть не всегда просто.

Великий французский философ и математик Даламбер вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте всего с двумя монетами!

Пример 2.14. (ошибка Даламбера). Подбрасываются две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что они упадут на одну и ту же сторону?

Решение Даламбера.

Опыт имеет три равновозможных исхода:

1. Обе монеты упадут на «орла»;

2. Обе монеты упадут на «решку»;

3. Одна из монет упадет на «орла», другая на «решку».

Из них благоприятными для нашего события будут два исхода, поэтому искомая вероятность равна .

Правильное решение.

Опыт имеет четыре равновозможных исхода:

1. Первая монета упадет на «орла», вторая тоже на «орла»;

2. Первая монета упадет на «решку», вторая тоже на «решку»;

3. Первая монета упадет на «орла», а вторая — на «решку»;

4. Первая монета упадет на «решку», а вторая — на «орла».

Из них благоприятными для нашего события будут два исхода, поэтому искомая вероятность равна .

Даламбер совершил одну из самых распространенных ошибок, допускаемую при вычислении вероятности: он объединил два элементарных исхода в один, тем самым сделав его не равным по вероятности оставшимся исходам опыта.

Алгоритм решения задач на классическую вероятность:

1. Описание возможных исходов опыта, их кодирование и перечисление (полное или частичное).

2. Обоснование равновозможности перечисленных исходов (здесь можно опираться на симметрию самого объекта, участвующего в опыте; использовать прямые указания в тексте задачи: «случайно», «наугад», «не глядя» и т.д.).

3. Подсчет общего числа исходов опыта n.

4. Описание благоприятных для события A исходов, их перечисление (полное или частичное). Если все исходы уже выписаны, то можно просто отметить среди них благоприятные для A.

5. Подсчет числа благоприятных для события A исходов m.

6. Вычисление вероятности по формуле .

7. Оценка и интерпретация полученного результата.

Вероятность события имеет следующие свойства:

1. Для любого события А справедливо неравенство:

0   P(A)   1.

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

3. Вероятность достоверного события равна единице.

4. Если события образуют полную группу событий, то вероятность объединения этих событий равна единице:

5. Вероятность противоположного события:

6. Если событие влечет за собой событие , то вероятность события не превосходит вероятность события , т.е.