Задания для самостоятельного решения

Задание 1.1. Упростить: а) ; б) ; в) .

Задание 1.2. Вычислить: а) ; б) ; в) .

Задание 1.3. Вычислить: а) ; б) .

Задание 1.4. Вычислить: а) ; б) .

Задание 1.5. Докажите равенство, связывающее между собой числа перестановок, размещений и сочетаний.

Задание 1.6. В автомобиле 5 мест. Сколькими способами пять человек могут занять места для путешествия, если водить машину могут только трое из них.

Задание 1.7. После хоккейного матча каждый игрок одной команды пожал руку каждому игроку другой. Сколько всего игроков присутствовало на площадке, если было совершено 323 рукопожатия?

Тема 2 Случайные события и вероятности

2.1. Понятие случайного события.

2.2. Виды случайных событий.

2.3. Операции над событиями.

2.4. Классическая вероятность и ее свойства.

2.5. Статистическое определение вероятности.

2.6.Геометрическое определение вероятности.

2.7. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

2.8. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

2.1. Понятие случайного события

Под опытом, или экспериментом, или испытанием будем понимать осуществление конкретного комплекса условий.

Опыт называется случайным, если его результат нельзя точно предсказать до его осуществления.

Пример 2.1. Подбрасывание монеты;

процесс изготовления какой-либо детали.

Всякий результат опыта называется событием.

Событие называется случайным, если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти. Вместо "произойти" говорят также "наступить", "появиться", "иметь место".

Случайные события обозначаются большими буквами латинского алфавита А, В, С, …

Пример 2.2. Событие А – «попадание в мишень при стрельбе»,

событие В – «появление герба при бросании монеты».

событие С – «при подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков».

В приведенном определении неявно подразумевается одно важное требование, которое необходимо подчеркнуть: мы должны иметь возможность неоднократно воспроизводить одни и те же условия, в которых наблюдается данное событие (например, подбрасывать кубик), — иначе невозможно судить о его случайности. Стало быть, говоря о любом случайном событии, мы всегда имеем в виду наличие определенных условий, без которых об этом событии вообще не имеет смысла говорить. До эксперимента, как правило, невозможно точно сказать, произойдет данное событие или не произойдет — это выясняется лишь после его завершения.

2.2. Виды случайных событий

События, которые никогда не могут произойти называется невозможными.

События, которые происходят при каждом эксперименте называются достоверными.

Пример 2.3. Событие А - «на игральном кубике выпадет 7 очков» — невозможное, а событие В – «на игральном кубике выпадет меньше семи очков» — достоверное. Разумеется, если речь идет о кубике, на гранях которого написаны числа от 1 до 6.

Два события называются несовместными, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. В противном случае события называются совместными.

Пример 2.4. Несовместными являются попадание и промах при одном выстреле.

Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого.

Если одно из противоположных событий обозначено буквой А, то другое обозначают .

Пример 2.5. Если событие А – «попадание», то событие – «промах» при одном выстреле

мишени.

Несколько событий в условиях данного опыта образуют полную группу событий, если в результате опыта произойдет обязательно хотя бы одно из них.

Пример 2.6. Учащемуся на экзамене достался билет с двумя теоретическими вопросами.

События А₁ – «учащийся знает оба вопроса»,

А₂ – «учащийся знает первый вопрос, но не знает второго»,

А₃ – «учащийся знает второй вопрос, но не знает первого»,

А₄ – «учащийся знает только один вопрос»,

А₅ – «учащийся не знает ни одного вопроса» образуют полную систему событий, среди которых имеются как несовместные А₁ и А₂, А₁ и А₅ и другие, так и совместные А₂ и А₄, А₃ и А₄.

Различают события элементарные и составные.

Так, в примере 2.6 событие А₄ является составным событием из А₂ и А₃, поэтому событие А₄ наступит только в результате наступления либо только элементарного события А₂, либо только элементарного события А₃. В таком случае говорят, что событие А₄ разлагается на элементарные события А₂ и А₃, и пишут А₄ = {А₂, А₃}.

События называются равновозможными, если условия испытания обеспечивают одинаковую возможность осуществления каждого из них.

Пример 2.7. При подбрасывании монеты событие А – «появление орла» и событие В – «появление решки» равновозможны, так как предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не влияет на то, какая сторона монеты окажется верхней.