- •Тема 1 Элементы комбинаторики
- •1.1. Предмет комбинаторики
- •1.2. Правила комбинаторики
- •1.3.Понятие факториала
- •Пример 1.4. 1) ,
- •1.4. Перестановки
- •1.5. Размещения
- •Сочетания
- •Литература:
- •Контрольные вопросы:
- •Задания для самостоятельного решения
- •Тема 2 Случайные события и вероятности
- •2.2. Виды случайных событий
- •Каждое событие, которое может наступить в итоге опыта, называются элементарным исходом (элементарным событием, шансом).
- •2.3. Операции над событиями
- •2.4. Классическая вероятность и ее свойства
- •Статистическое определение вероятности
- •2.6. Геометрическое определение вероятности
- •2.6. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
- •Вероятность события в при условии, что произошло событие а, называется условной вероятностью события в и обозначается так: р(в/а), или ра(в).
- •2.7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Литература:
- •Контрольные вопросы:
- •Задания для самостоятельного решения
- •Тема 3 Повторные испытания
- •3.1. Формула Бернулли
- •3.2.Локальная теорема Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •Литература:
- •Контрольные вопросы:
- •Задания для самостоятельного решения
- •Тема 4 Случайные величины
- •4.1. Понятие случайной величины
- •4.2. Виды случайных величин.
- •4.3. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •4.4. Функция распределения.
- •Свойства функции распределения
- •4.5. Математическое ожидание случайной величины
- •Свойства математического ожидания:
- •4.6. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратическое отклонение
- •Свойства дисперсии:
- •Литература:
- •Контрольные вопросы:
- •Задания для самостоятельного решения
- •Тема 5 Некоторые законы распределения случайных величин
- •5.1. Биноминальное распределение
- •5.2. Распределение Пуассона.
- •5.3. Равномерное распределение
- •5.4. Нормальное распределение.
- •Литература:
- •Контрольные вопросы:
- •Задания для самостоятельного решения
- •Тема 6 Двухмерные случайные величины
- •6.1. Понятие о системе нескольких случайных величин
- •6.2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •6.3. Функция распределения двумерной случайной величины
- •Свойства функции распределения двумерной случайной величины
- •6.4. Плотность непрерывной двумерной случайной величины
- •6.5. Числовые характеристики непрерывной системы двух случайных величин
- •Литература:
- •Контрольные вопросы:
- •Задания для самостоятельного решения
- •Тема 7 Элементы математической статистики
- •7.7.Эмпирическая функция распределения.
- •7.8. Числовые характеристики выборки.
- •7. 1. Предмет математической статистики
- •7.2.Первичная обработка выборок. Генеральная совокупность и выборка
- •7.3. Основные виды выборок
- •7.4. Способы отбора
- •7.5. Вариационный ряд
- •7.6. Графическое представление вариационных рядов
- •Гистограмма
- •Полигон частот
- •7.7.Эмпирическая функция распределения
- •7.8. Числовые характеристики выборки
- •Характеристики положения
- •Среднее арифметическое
- •Медиана
- •Характеристики рассеяния
- •Размах вариации
- •Дисперсия и стандартное отклонение
- •Коэффициент вариации
- •Коэффициент осцилляции
- •Литература:
- •Контрольные вопросы:
- •Задания для самостоятельного решения
- •Тема 8 Теория оценок
- •8.1. Статистические оценки параметров распределения
- •8.2. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки
- •8.3. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал
- •Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном .
- •Литература:
- •Контрольные вопросы:
- •Задания для самостоятельного решения
- •Тема 9 Статистические гипотезы
- •9.1. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы
- •9.2. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •Литература:
- •Контрольные вопросы:
- •Задания для самостоятельного решения
- •Вопросы к экзамену
- •Эмпирическая функция распределения.
- •Числовые характеристики выборки. Характеристики положения.
- •Числовые характеристики выборки. Характеристики рассеяния.
- •Дополнительная литература
- •Содержание
Среднее арифметическое
Среднее арифметическое, или просто среднее, — одна из основных характеристик выборки.
Среднее арифметическое – такое значение признака, сумма отклонений от которого выборочных значений признака равна нулю (с учетом знака отклонения).
Среднее принято обозначать той же буквой, что и варианты выборки, с той лишь разницей, что над буквой ставится символ усреднения — черта. Например, если обозначить исследуемый признак через X, а его числовые значения — через xi, то среднее арифметическое имеет обозначение .
Среднее арифметическое, как и другие числовые характеристики выборки, может вычисляться как по необработанным первичным данным, так и по результатам группировки этих данных.
Для несгруппированных данных среднее арифметическое определяется по следующей формуле:
где n — объем выборки;
хi — варианты выборки.
Если данные сгруппированы, то
где n — объем выборки;
k — число интервалов группировки;
ni — частота i-ого интервала;
хi — срединное значение i-ого интервала.
Среднее арифметическое – величина того же наименования, что и значения признаков.
Нахождение среднего арифметического непрерывного вариационного ряда осложняется, если крайние интервалы не замкнуты (то есть имеют вид «менее 10» или «более 60»). В этом случае считается, что ширина первого интервала равна ширине второго, а ширина последнего – ширине предпоследнего.
Среднее арифметическое, вычисленное по формуле называют также взвешенным средним, подчеркивая этим, что в формуле xi, суммируются с коэффициентами (весами), равными частотам попадания в интервалы группировки.
Медиана
Медианой (Ме) называется такое значение признака X, когда ровно половина значений экспериментальных данных меньше ее, а вторая половина — больше.
Если данных немного (объем выборки невелик), медиана вычисляется очень просто. Для этого выборку ранжируют, т. е. располагают данные в порядке возрастания или убывания, и в ранжированной выборке, содержащей n членов, ранг R (порядковый номер) медианы определяется как
Пример 7.8. Имеется ранжированная выборка, содержащая нечетное число членов n = 9:
12, 14, 14, 18, 20, 22, 22, 26, 28.
Тогда ранг медианы:
и медиана совпадает с пятым членом ряда: Ме = 20.
Если выборка содержит четное число членов, то медиана не может быть определена столь однозначно.
Пример 7.9. Имеется ранжированная выборка, содержащая 10 членов:
6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24.
Ранг медианы оказывается равным:
Медианой в этом случае может быть любое число между 14 и 16 (5-м и 6-м членами ряда). Для определенности принято считать в качестве медианы среднее арифметическое этих значений, т. е.:
Если необходимо найти медиану для сгруппированных данных, то поступают следующим образом. Вначале находят интервал группировки, в котором содержится медиана, путем подсчета накопленных частот или накопленных относительных частот.
Медианным будет тот интервал, в котором накопленная частота впервые окажется больше или накопленная относительная частота — больше 0,5. Внутри медианного интервала медиана определяется по следующей формуле:
где — нижняя граница медианного интервала;
hme — ширина медианного интервала;
— накопленная частота интервала, предшествующего медианному,
— частота медианного интервала.
Пример 7.10. Найти медиану для интервального ряда примера 6.3.
Превышение разрешенной скорости движения (км/ч) |
20 – 30 |
30 – 40 |
40 – 50 |
50 – 60 |
больше 60 |
Количество нарушений |
50 |
32 |
26 |
11 |
5 |
Объем выборки равен п = 50 + 32 + 26 + 11 + 5 = 124.
Найдем медианный интервал – интервал, в котором накопленная частота впервые окажется больше или накопленная относительная частота — больше 0,5.
Так как, накопительная частота второго интервала 50 + 32 = 82 > 62, то следовательно интервал (30; 40) будет медианным и = 30, hme = 40 – 30 = 10, = 50, = 32.
Значит,
Медиана обычно несколько отличается от среднего арифметического. Так бывает всегда, когда имеет место несимметричная форма эмпирического распределения.
Мода
Мода (Мо) представляет собой значение признака, встречающееся в выборке наиболее часто.
Ряд называется унимодальным, если в нем только одно модальное значение и полимодальным, если есть несколько значений признака, которые встречаются одинаково часто. Для полимодального ряда моду не вычисляют.
Для дискретного ряда мода находится по определению.
Интервал группировки с наибольшей частотой называется модальным.
Для определения моды в интервальном ряду используется следующая формула:
где — нижняя граница модального интервала;
h — ширина интервала группировки;
nMo — частота модального интервала;
nMo-1 — частота интервала, предшествующего модальному;
nMo+1 — частота интервала, следующего за модальным.