Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D (С) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D (X + Y) = D (X) + D (Y).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

D (X + C) = D (X).

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D (X - Y) = D (X) + D (Y).

Литература:

1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. — 9-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2003. — с.64 – 66, 75 – 94.

2. Гусак А.А. Теория вероятностей: справ. Пособие к решению задач / А.А. Гусак, Е.А. Бричикова. – 6-е изд. – Минск: ТетраСистемс, 2007. – с. 83 – 141.

Контрольные вопросы:

1. Что называют случайной величиной?

2. Какую величину называют дискретной случайной величиной?

3. Какую величину называют непрерывной случайной величиной?

4. Как задают закон распределения дискретной случайной величины?

5. Что такое многоугольник распределения?

6. Что называют функцией распределения случайной величины?

7. Какими свойствами обладает функция распределения?

8. Какие числовые характеристики случайной величины вы знаете? Дайте им определения, укажите методы их нахождения, перечислите свойства.

Задания для самостоятельного решения

Задание 4.1. Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.

Задание 4.2. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено изделий: а) ровно три; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы одно.

Задание 4.3. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти плотность распределения.

Задание 4.4. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти плотность распределения.

Задание 4.5. Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 3X + 2Y, если известно, что D(X) = 5, D(Y) = 6.

Задание 4.6. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

Х	-5	2	3	6
р	0,4	0,3	0,1	0,2

Тема 5 Некоторые законы распределения случайных величин

5.1. Биноминальное распределение.

5.2. Распределение Пуассона.

5.3. Равномерное распределение.

5.4. Нормальное распределение.

5.1. Биноминальное распределение

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, непоявления q = 1 – p.

Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события А в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины X. Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие А в п испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо п раз. Таким образом, возможные значения X таковы: х₁= 0, x₂ = 1, x₃ = 2, . . ., x_n+1= n. Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:

,

где k = 0, 1, 2, .... п.

Данная формула и является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Биноминальным называют закон распределения дискретной случайной величины - числа появлений событий в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна ; вероятность возможного значения (числа появлений события) вычисляют по формуле Бернулли:

,

где .

Таким образом, первый член разложения р^п определяет вероятность наступления рассматриваемого события п раз в п независимых испытаниях; второй член определяет вероятность наступления события п – 1 раз; ...; последний член q^п определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Напишем биномиальный закон в виде таблицы:

Х	п	п-1	…	k	…	0
Р	рп		…		…	qп

При этом математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:

Пример5.1. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X — числа выпадений «герба».

Решение.

Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты , следовательно, вероятность непоявления «герба»

При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X таковы: x₁ = 2, х₂ = 1, х₃ = 0. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

Напишем искомый закон распределения:

Х	2	1	0
Р	0,25	0,5	0,25

Контроль: 0,25 + 0,5 + 0,25 = 1.