11.2. Цилиндрические зубчатые передачи

Расчет прямозубых цилиндрических передач на прочность

Расчет прямозубых и косозубых цилиндрических передач стандартизован ГОСТ 21354-87. Рассмотрим основы расчета с некоторыми упрощениями.

Силы в зацеплении. На рисунке 11.6 F_n – нормальная сила действующая по линии зацепления к рабочим поверхностям зубьев. Переносим силу F_n в полюс зацепления и раскладываем на окружную силу F_t и радиальную силу F_r. Такая расчетная схема используется для расчета валов и опор. При известном Т₁ можно записать

, (11.4)

далее через нее выражают остальные составляющие:

(11.5)

Расчет зубьев на контактную прочность. Наименьшей контактной усталостной прочностью обладает околополюсная зона, где наблюдается однопарное зацепление (рисунок 11.3).

Рисунок 11.6 – Силы, действующие в прямозубом цилиндрическом зацеплении

Рисунок 11.7 – Схема к расчету прочности зубьев по контактным напряжениям

Поэтому расчет контактных напряжений принято выполнять при контакте в полюсе зацепления (рисунок 11.7). Контакт зубьев рассматривают как контакт двух цилиндров с радиусами ρ₁ и ρ₂. Контактные напряжения определяют по формуле (1.4)

.

Для прямозубых передач с учетом формул (11.3) – (11. 5)

. (11.6)

Радиусы кривизны эвольвент зубьев в зоне контакта

. (11.7)

Тогда

, (11.8)

где , знак «+» – для наружного, а «–» – для внутреннего зацепления.

Подставляя полученные выражения (11.6)и(11.8)в формулу (1.4) и заменяя получаем

. (11.9)

Параметр u = называют передаточным числом.

Значения расчетных контактных напряжений одинаковы для шестерни и колеса. Поэтому расчет выполняют для того из пары колес, у которого меньше допускаемое напряжение _нр.

Формулу (11.9) используют для проверочного расчета, когда все необходимые размеры и другие параметры передачи известны. При проектном расчете требуется определить размеры передачи по заданным условиям: крутящему моменту Т₁ или Т₂ и передаточному числу и. Для этого формулу (11.9) решают относительно d₁ или а. Неизвестные параметры выбирают по рекомендациям из справочников. В нашем случае принимаем d_w1 = d₁; = = 20° (sin2 = 0,64), K_Hv = 1,15 (этот коэффициент зависит от окружной скорости и, которая пока не известна, поэтому принято некоторое среднее значение). Из составляющих коэффициента К_н [см. формулу (11.3)] остается К_нβ.. Вводим новое обозначение – коэффициент ширины шестерни относительно делительного диаметра. Подставляя принятые значения в формулу (11.9) и решая относительно d₁, получаем

. (11.10)

Решая относительно межосевого расстояния а, заменяем : и вводим – коэффициент ширины колеса относительно межосевого расстояния. После преобразований с учетом зависимости

(11.11)

получим

. (11.12)

При расчетах цилиндрических зубчатых передач чаще используют формулу (11.12), так как габариты передачи определяет межосевое расстояние. Значения К и выбирают по рекомендациям из справочников.

Выбор модуля и числа зубьев. Величину модуля зацепления выбирают по соотношению

. (11.13)

Значение модуля округляют до ближайшего стандартного по справочникам. Для силовых передач обычно рекомендуют принимать m > 1,5 мм. При известном модуле определяют и уточняют остальные параметры передачи: диаметр делительной окружности шестерни

,

число зубьев шестерни ; число зубьев колеса z₂ = z_tu; диаметр делительной окружности колеса d₂ = mz₂; межосевое расстояние

a = 0,5(d₂ ± d₁).

Для передач без смещения должно быть выполнено условие:

z_l > z_min = 17.

Для уменьшения шума в быстроходных передачах рекомендуют брать z₁ > 25. Для окончательного утверждения выбранного значения модуля необходимо проверить прочность зубьев по напряжениям изгиба.

В случае неудовлетворительного результата увеличивают m и определяют новые значения z.

Расчет прочности зубьев по напряжениям изгиба. При нагружении зуб испытывает сложное (плоское) напряженное состояние (рисунок 11.8). Наибольшие нормальные напряжения при изгибе образуются у основания зуба в зоне перехода эвольвенты в гальтель. В этом месте наблюдается и концентрация напряжений. При расчете допустим следующее (рисунок 11.8):

1. Вся нагрузка в зацеплении передается одной парой зубьев и приложена к вершине зуба.

2. Зуб рассматриваем как консольную балку, для которой справедливы гипотеза плоских сечений или методы сопротивления материалов.

Силу F_n переносим по линии действия на ось симметрии зуба и раскладываем на составляющие F_t и F_y. Нормальные напряжения при изгибе в опасном сечении, расположенном вблизи хорды основной окружности,

, (11.14)

где — момент сопротивления сечения при изгибе;

А = b_w s — площадь у основания зуба; b_w — длина зуба; s — ширина зуба у основания; — плечо, на котором действует окружная сила F_t,.

Знак «–» в формуле (11.14) указывает, что за расчетные напряжения принимают напряжения на растянутой стороне зуба, так как именно здесь возникают трещины усталостного разрушения (для стали растяжение опаснее сжатия).

Учитывая геометрическое подобие зубьев различного модуля, величины и s выражают через безразмерные коэффициенты:

и , (11.15)

где т – модуль зубьев.

После подстановки и введения расчетных коэффициентов получим:

, (11.16)

где K_F – коэффициент расчетной нагрузки при изгибе; К_Т – теоретический коэффициент концентрации напряжений, который выбирают по рекомендациям из справочников. Обозначим коэффициент формы зуба.

. (11.17)

Для прямозубых передач расчетную формулу (11.16) записывают в виде

, (11.18)

где _FP – допускаемое напряжение изгиба.

При проектировании открытых зубчатых передач проектный расчет выполняют по напряжениям изгиба, при этом формулу (11.18) решают относительно модуля, используя следующие замены b_w = , , тогда , принимая К_Fv=1,5, получим

. (11.19)

Рисунок 11.8 – Схема к расчету зубьев на изгиб.

Значениями числа зубьев шестерни z₁ и коэффициента задаются по рекомендациям из справочников. Из формулы (11.17) следует, что y_F – безразмерный коэффициент, который зависит только от формы зуба ( , s', ) и от формы его галтели (коэффициент К_Т). Форма зуба при одинаковом исходном контуре режущего инструмента зависит от числа зубьев колеса z.

Особенности расчета косозубых цилиндрических передач

Геометрические параметры. У косозубых колес зубья располагаются под некоторым углом к образующей делительного цилиндра (рисунок 11.9). Оси колес остаются параллельными. Для нарезания косых зубьев используют инструмент такого же исходного профиля, как и для нарезания прямых. Поэтому контур косого зуба в нормальном сечении n – n совпадает с контуром прямого зуба. Модуль в этом сечении является стандартным

Рисунок 11.9 – Схема косозубой цилиндрической передачи (геометрические размеры)

В торцовом сечении t—t параметры косого зуба изменяются в зависимости от величины угла р:

Окружной шаг .

Окружной модуль .

Делительный диаметр .

Индекс n приписывают параметрам в нормальном сечении, а индекс t приписывают параметрам в торцовом сечении.

Принято считать, что прочность зуба определяют его размеры и форма в нормальном сечении. Форму косого зуба в нормальном сечении определяют через параметры эквивалентного прямозубого колеса (рис. 11.10).

Нормальное к зубу сечение образует эллипс с полуосями

с=r и е= , где . В зацеплении находятся зубья, расположенные на малой оси эллипса, так как второе колесо находится на расстоянии . Радиус кривизны эллипса на малой оси (см. геометрию) .

Рисунок 11.10 – Схема для определения эквивалентных параметров косозубых цилиндрических передач

В соответствии с этим форма косого зуба в нормальном сечении эквивалентна прямозубому колесу, диаметр которого

(11.20)

и число зубьев

или

. (11.21)

Увеличение эквивалентных параметров (d_v и z_v) с увеличением угла повышает прочность косозубых передач.

Многопарность и плавность зацепления. В отличие от прямых, косые зубья входят в зацепление не сразу по всей длине, а постепенно. Зацепление перемещается в направлении от точек 1 к точкам 2 (рисунок 11.9).

Расположение контактных линий в поле косозубого зацепления показано на рисунке 11.11, а, б (сравни с рисунком 11.3 – прямозубое зацепление). При движении линии контакта перемещаются в поле зацепления в направлении, показанном стрелкой. В рассматриваемый момент времени в зацеплении находится три пары зубьев 1, 2 и 3. Пара 2 находится в зацеплении по всей длине зубьев, а пары 1 и 3 – лишь частично. Затем пара 3 выходит из зацепления и перемещается в положение 3', а в зацеплении еще остались две пары 2' и 1’. В отличие от прямозубого косозубое зацепление не имеет зоны однопарного зацепления. В прямозубом зацеплении нагрузка с двух зубьев на один или с одного на два передается мгновенно.

Рисунок 11.11 – Многопарность косозубого цилиндрического зацепления

Это сопровождается ударами и шумом. В косозубых передачах зубья нагружаются постепенно по мере захода в поле зацепления, а в зацеплении всегда находится минимум две пары зубьев. Плавность косозубого зацепления значительно уменьшает шум и динамические нагрузки.

Косозубые колеса могут работать без нарушения зацепления даже при коэффициенте торцевого перекрытия < 1, если обеспечено осевое перекрытие b_w > ; (рисунок 11.11, б). Отношение

(11.22)

называют коэффициентом осевого перекрытия. Рекомендуется принимать ≥ 1,1. В косозубом зацеплении нагрузка распределяется на всю суммарную длину контактных линий 1, 2, 3. Удельная нагрузка уменьшается с увеличением суммарной длины контактных линий Из рисунка 11.11 можно установить, что при , равному целому числу,

(11.23)

и не изменяется при движении, так как уменьшению линии 3 всегда соответствует равное увеличение линии 1. Из формулы 11.23 видно, что растет с увеличением , что выгодно. Однако при увеличении увеличиваются осевые нагрузки в зацеплении (см. далее), поэтому рекомендуют принимать = 8 – 20°.

На боковой поверхности косого зуба линия контакта располагается под некоторым углом (рисунок 11.12, а). Угол , увеличивается с увеличением . По линии контакта нагрузка распределяется неравномерно. Ее максимум на средней линии зуба, так как при зацеплении серединами, зубья обладают максимальной суммарной жесткостью.

При движении зуба в плоскости зацепления линия контакта перемещается в направлении от 1 к 3 (рисунок 11.12, б), при этом опасным для прочности может оказаться положение 1, в котором у зуба отламывается угол. Трещина усталости образуется у корня зуба в месте концентрации напряжений и затем распространяется под некоторым углом . Вероятность косого излома отражается на прочность зубьев по напряжениям изгиба, а концентрация нагрузки q – на прочность по контактным напряжениям.

Рисунок 11.12 – Расположение линии контакта на боковой поверхности

Силы в зацеплении. В косозубой передаче (рисунок 11.13) нормальную силу F_n раскладывают на три составляющие:

Рисунок 11.13 – Силы в зацеплении косозубой цилиндрической передачи

окружную силу ,

осевую силу , (11.24)

радиальную силу .

Тогда нормальная сила .

Осевая сила в зацеплении дополнительно нагружает опоры валов, что является недостатком косозубых колес.

Расчет зубьев по контактным напряжениям. Для косозубых колес удельная нагрузка с учетом формул (11.23) и (11.24)

, (11.25)

где К_нα – коэффициент неравномерности нагрузки одновременно зацепляющихся пар зубьев.

Заменяя в формуле (11.8) значение d_w1 на диаметр эквивалентного колеса d_vl [см. формулу (11.20)], получаем

. (11.26)

Сравнивая отношения в формуле (1.4) для прямозубых (формулы 11.6 и 11.8) и косозубых колес, определяем

или

. (11.27)

Обозначим

, (11.28)

где Z_Hβ – коэффициент повышения прочности косозубых передач по контактным напряжениям. Используя формулу (11.9) получим для косозубых передач

. (11.29)

В косозубых передачах, из–за ошибок при нарезании зубьев, может быть частично нарушено двухпарное зацепление. Это приводит к тому, что одна пара зубьев нагружается больше чем другая, поэтому коэффициент К_Нα учитывает неравномерность нагрузки. При этом различают К_Нα для расчетов по контактным напряжениям и K_Fα для расчетов по напряжениям изгиба. Значения коэффициентов выбирают по рекомендациям из справочников в зависимости от окружной скорости в зацеплении и степени точности изготовления. При проектном расчете эта информация не известна, поэтому значение Z_H в формуле (11.29) определяют приближенно. Принимая средние значения = 12°, = 1,5 и К_Нα= 1, 1, получаем Z_нβ =0,85, а формулы (11. 10) и (11. 12) проектного расчета путем умножения числовых коэффициентов на для косозубых передач будут иметь вид

, (11.30)

. (11.31)

Расчет зубьев по напряжениям изгиба. Расчет выполняют с учетом увеличения прочности косозубых передач по сравнению с прямозубыми. Тогда формулы (11.18) и (11.19) для косозубых передач будут иметь вид: для проверочного расчета,

(11.32)

для проектного расчета (принимая приближенно К_Fn = 1)

, (11.33)

где Z_Fβ – коэффициент повышения прочности косозубых передач по напряжениям изгиба:

, (11.34)

где _а – коэффициент перекрытия учитывающий уменьшение нагрузки ввиду многопарности зацепления. Его определяют по формуле:

. (11.35)

Знак «+» – для внешнего, а «–» – для внутреннего зацепления.

K_Fa – коэффициент неравномерности распределения нагрузки одновременно зацепляющихся пар зубьев (выбирают по справочникам), – коэффициент, учитывающий повышение изгибной прочности вследствие наклона контактной линии к основанию зуба.

Коэффициент формы зуба y_F выбирают по справочникам в зависимости от эквивалентного числа зубьев z_v. Значения z_{1 , m} и выбирают по справочникам.