12)Единичная матрица: определение, формулы для элементов

Матрица – это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

a₁₁ а₁₂ …а_1n

А= a₂₁ а₂₂ …а_2n или кратко А=(a_ij)

…………..

a_m1 а_m2 …а_mn

Если т=п, то матрица называется квадратной матрицей n-го по­рядка. Кв. матрица наз треугольной, если все ее элемен­ты, стоящие над или под главной диагональю, равны нулю. Кв. матрица называется диагональной, если все ее эл-ты, стоящие на главной диагонали, отличны от нуля, а остальные равны нулю. Диагональная матрица наз единичной, если у нее по главной диагонали стоят 1. Единичную матрицу принято обозначать буквой Е:

13) Обратная матрица: определение, условия существования обратной матрицы.

Пусть задана квадратная матрица А. Если существует матрица В, такая что А*В=Е, то говорят что матрица В является обратной по отношению к матрице А: В=А^-1, А*А^-1=Е.

Свойства:

1)Обратная и исходная матрицы перестановочны и матрица, обратная обратной, совпадает с исходной: А*А^-1=А^-1*А=Е.

2)Единственность матрицы: если для данной матрицы обратная мат сущ-т, то она только одна.

Только квадратная матрица может иметь обратную.

Для нахождения обратной матрицы можно использовать следующий алгоритм:

Смотрим, квадратная ли матрица: если нет, обратной матрицы не существует; если квадратная, переходим к след. пункту;

Вычисляем определитель ∆А; если он равен 0, обратной матрицы не существует; если он не равен 0, переходим к след. пункту;

Вместо каждого элемента матрицы ставим его алгебраическое дополнение (алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на (-1)^s, где s – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент);

Полученную матрицу транспонируем;

Каждый элемент полученной матрицы делим на определитель исходной матрицы и получаем матрицу, обратную данной.

14) Постановка линейной производственной задачи, смысл переменных, векторов и матриц, допустимый и оптимальный план, математическая модель

Лин производ зад – это задача о рац испол производ мощностей. Смысл - предпр выпускает n видов изделия на m видах оборуд. А –матрица издержек, a_ij - издержки, затраты на изгот ед j-ого изделия на i-том оборуд. Вектор В – это объем ресурсов, b_i,- имеющееся количество i-го ресурса, а вектор С – прибыль от реализации единицы изделия каждого вида, с_j - прибыль на единицу j-й про­дукции, х_j - искомое количество единиц j-й продукции. Матем модель: задача -найти производ программу X = (x_1, x₂, x₃, x₄), максимиз прибыль. По составленным неравенствам рисуем на графике область допустимых решений. Допустимое решение – набор x_1, x₂, x₃, x_4, который удовлет усл зад и каждая компонента которого неотрицателна. рисуем линии уровня функции прибыли, которые перпендик вектору-градиенту прибыли. Ищем наибольшее значение функции прибыли в ОДР, координаты этой точки являются оптимальным планом.

15) Постановка общей задачи математического программирования. Основные понятия

Задачу линейного программирования нередко формулируют как задачу минимизации или макси-мизации линейной формы L=c₁x₁+c₂x₂+...c_nx_n (1) при ограничениях x₁≥0, x₂≥0, ...x_n≥0 и

∑ a_ijx_j≤b_i, i=1,2,...m₁,

∑ a_ijx_j=b_i, i= m₁+1, m₁+2,...m₂,

∑ a_ijx_j≥b_i, i= m₂+1, m₂+2,...m.

Такую запись называют общей задачей линейного программирования.

Обозначим через А матрицу системы линейных уравнений:

а₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … a_1nx_n = b₁

а₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … a_2nx_n = b₂ (2)

А = . . . . .

а_m1x₁ + a_m2x₂ + … a_mnx_n = b_m.

Через X и B – матрицы-столбцы (векторы) неизвестных и свободных членов:

, ,

а также введем в рассмотрение n-мерный вектор C = (с₁ … с_n), компонентами которого служат коэффициенты линейной формы (1), и n-мерный нуль-вектор 0(0, 0, …, 0). Тогда линейную форму можно рассматривать как скалярное произведение L=CX (3), систему линейных уравнений (2) заменить одним матричным уравнением AX=B (4), а условия x₁≥0, x₂≥0, ...x_n≥0 записать в виде X≥0 (5). Поэтому часто основную задачу линейного программирования кратко записывают как задачу минимизации линейной формы (3) при линейных ограничениях (4) и (5).