47.Постановка и математическая модель замкнутой транспортной задачи, число базисных неизвестных. Записать основные свойства этой модели.

План перевозок продукции от поставщиков (m) к потребителям (n), при котором полностью удовлетворялись бы запросы всех потребителей, а суммарные расходы на перевозки были бы миним. Удовлетворяются запросы всех потребителей и от каждого поставщика вывозится вся продукция.

Сначала рассмотрим случай,когда суммарные запасы продукции поставщиков = суммарным запросам потребителей:

∑a_i=∑b_j

Транспортная задача,в которой выполняется это условие,называется сбалансированной,закрытой или замкнутой.В этом случае удовлетворение запросов всех потребителей возможно,если от каждого поставщика вывозится вся продукция , а каждому потребителю продукция доставляется в количестве, соответствующем его запросам.Очевидно,что математической моделью закрытой транспортной задачи будет следующая задача ЛП:

m n

L=∑ ∑ c_ijx_ij->min

i=1 j=1

∑x_ij=a_i, i=1,…1m,

j=1

∑x_ij=b_j, j=1,…,n,

i=1

x_ij≥0, i=1,…,m; j=1,…,n.

Свойства. 1) задача всегда имеет решение

2) ранг матрицы коэффициентов системы уравнений равен m+n-1 – число базисных переменных.

48.Постановка и математическая модель транспортной задачи, в которой суммарные запасы продукции меньше суммарных запросов на нее. Записать правила сведения такой модель к замкнутой задаче и записать полученную замкнутую модель транспортной задачи.

Правило:Если суммарная мощность меньше суммарного спроса,то вводится фиктивный поставщик,его мощность=тому чего не хватает.В таблице вводится доп. строка,затраты считаются 0.

49Постановка и математическая модель транспортной задачи, в которой суммарные запасы продукции больше суммарных запросов на нее. Записать правила сведения такой задачи к замкнутой и записать полученную замкнутую модель транспортной задачи.

Правило:Если суммарная мощность меньше суммарного спроса,то вводится фиктивный потребитель,его мощность=тому чего не хватает.В таблице вводится доп. строка,затраты считаются 0.

50.Записать правила построения первого базисного решения замкнутой транспортной задачи по методу северо-западного угла.

Первое базисное допустимое решение легко построить по правилу северо-западного угла. В соответствии с этим правилом, заполнение транспортной таблицы начинается с левой верхней клетки и состоит из однотипных шагов, на каждом из которых из рассмотрения исключается один поставщик или один потребитель:

если остаток продукта у i-го поставщика после предыдущих шагов меньше, чем неудовлетв. запрос j-го потребителя, то исключается из рассмотрения i-й поставщик, и в клетку (i, j) заносится поставка x_ij, равная остатку продукта у i-го поставщика после предыдущих шагов;

если остаток продукта у i-го поставщика после предыдущих шагов больше, чем неудовлетворенный запрос j-го потребителя, то исключается из рассмотрения j-й потребитель, и в клетку (i, j) заносится поставка x_ij, равная неудовлетворенному запросу j-го потребителя;

если остаток продукта у i-го поставщика после предыдущих шагов равен неудовлетворенному запросу j-го потребителя, то исключается из рассмотрения или i-й поставщик, или j-й потребитель, и в клетку (i, j) заносится поставка x_ij=0 равная остатку продукта у i-го поставщика после предыдущих шагов.

После этого рассматривается левая верхняя клетка среди тех, которые остаются после вычеркивания строк, соответствующих поставщикам, весь запас продукта у которых уже распределен по потребителям, и столбцов, соответствующих потребителям, запросы которых уже удовлетворены.

Каждому поставщику ставится в соответствие потенциал p_i, а каждому потребителю — потенциал q_i. При этом каждой клетке соответствует некоторая оценка: .

Один из потенциалов можно выбрать произвольно, так как в системе одно уравнение линейно зависит от остальных. Обычно полагают p₁=0. Остальные потенциалы вычисляются из условия, что для базисных клеток ∆_ij=0.

Затем вычисляются оценки всех свободных клеток. Если хотя бы одна из оценок строго положительна, то базисное допустимое решение, содержащееся в данной транспортной таблице, не является оптимальным. Выбирается свободная клетка (r, s), соответствующая наибольшей положительной оценке .

Для выбранной свободной клетки строится цикл пересчета — замкнутая ломаная, одна из вершин которой находится в данной свободной клетке, а все остальные — в занятых клетках, соседние звенья взаимно перпендикулярны, сами звенья параллельны строкам и столбцам таблицы.

Так производится перераспределение поставок вдоль цикла пересчета, при котором происходит такой переход к новому базисному допустимому решению.