1. Метод тензорного произведения

По заданному массиву  рациональная поверхность определяется уравнением

где    - полиномы Бернштейна;

    - весовые коэффициенты ().

В случае, если все весовые коэффициенты равны между собой, уравнение описывает интегральную поверхность Безье.

          Параметрические уравнения, определяющие рациональную поверхность Безье, часто записывают в матричной форме [12]:

где    - матрица управляющих точек с весами;

- матрица весов;

- матрица параметра;

- матрица параметра;

- матрица коэффициентов.

Основные свойства рациональных поверхностей Безье:

1. Поверхность полностью определяется набором вершин характеристической сетки  .

2. Поверхность лежит в выпуклой оболочке точек  .

3. Самой поверхности в общем случае принадлежат только четыре угловые точки сетки. В этих точках касательные плоскости поверхности совпадают с плоскостями угловых граней характеристической сетки.

4. Граничными кривыми порции поверхности являются рациональные кривые, управляемые набором  точек и соответствующих весов.

5. Рациональная поверхность Безье аффинно- и проективно-инвариантна.

6. Формой поверхности можно управлять подбором вершин характеристической сетки и соответствующих весовых коэффициентов.

2. Каркасный метод

С  помощью этого метода поверхность определяется семейством кривых. Уравнение поверхности записывается в виде:

или

14.3.3. Метод булевой суммы (поверхности Кунса)

В случае конструирования поверхности методом Кунса необходимо задать два семейства граничных кривых (в  инаправлениях). Уравнение поверхности Кунса имеет вид

Граничные кривые представляют собой рациональные кривые Безье, управляющие точки которых получены с помощью методов интерполяции исходных точек поверхности, внутренние точки порции поверхности вычисляются с помощью билинейной интерполяции в двух направлениях. Обобщением поверхностей Кунса являются поверхности, интерполирующие всю заданную криволинейную сетку  (поверхности Гордона).

При моделировании поверхностей с помощью рассмотренных методов предполагается, что исходные данные в виде массивов точек, характерных линий поверхности или определяющих их функций получены в результате физических экспериментов, решения прикладных задач, сняты с натурных макетов или выполнены дизайнерами.

Для интерактивного конструирования и последующей модификации двумерных обводов наиболее приспособлены методы тензорного произведения, в которых в качестве базовых используются полиномы Бернштейна и связанные с ними методы построения характеристических сеток.

В заключение отметим, что в ряде случаев для геометрического моделирования сложных криволинейных двумерных обводов целесообразно использовать топологически непрямоугольные (в частности треугольные) порции поверхностей. В этом случае математическое задание обводов производится с помощью обобщенных полиномов Бернштейна.

15. Стандарты в графических системах сапр и современные растровые графические файлы

В основе разработки графических стандартов лежит принцип виртуальных ресурсов, позволяющий разделить графическую систему на несколько слоев - прикладной, базисный и аппаратнозависимый. При этом каждый слой является виртуальным ресурсом для верхних слоев и может использовать возможности нижних слоев с помощью стандартизованных программных интерфейсов. Кроме того, графические системы могут обмениваться информацией с другими системами или подсистемами с помощью стандартизованных файлов или протоколов. В соответствий с этими соображениями первоначально были выделены три основных направления стандартизации - базисные графические системы, интерфейсы виртуального устройства, форматы обмена графическими данными.

Стандартизация базисных графических систем направлена на обеспечение мобильности прикладных программ и основана на концепции ядра, содержащего универсальный набор графических функций, общих для большинства применений. Наиболее известными проектами по стандартизации базисных систем являются CoreSystem,GKS,GKS-3D,PHIGS,PHIGS+. Основное направление развития этих проектов заключалось в усилении изобразительных возможностей для визуализации геометрических объектов (2D, 3D, удаление скрытых линий и граней, полутоновая закраска, текстурирование и пр.). Стандарт на базисную графическую систему включает в себя функциональное описание и спецификации графических функций для различных языков программирования.

Концепция виртуального устройства начала разрабатываться с момента появления аппаратно-независимых графических систем. Интерфейс виртуального устройства разделяет аппаратно-зависимую и аппаратно-независимую части графической системы. Он обеспечивает заменяемость графических устройств (терминальную независимость), а также возможность работы с несколькими устройствами одновременно. Интерфейс виртуального устройства может существовать в форме программного интерфейса и/или протокола взаимодействия двух частей графической системы. Наиболее четко концепция виртуального устройства представлена в проекте CGI.

Развитие этой концепции совпало с активным перемещением графических средств на персональные компьютеры и графические станции. При этом основными интерактивными устройствами стали растровые дисплеи, а устройствами для получения твердых копий - растровые принтеры. Это привело к необходимости выделения отдельного набора растровых функций, позволяющих использовать функциональные возможности растровых устройств.

Дальнейшее развитие растровых функций связано с появлением многооконных графических систем XWindowиMSWindows(а такжеNeWSиDisplayPostscript), обеспечивших удобные средства для манипулирования растровыми изображениями. Эти средства явились основой для развития систем обработки изображений и для организации эффективного многооконного пользовательского интерфейса с использованием меню, диалоговых панелей, полос просмотра и пр. Отметим, что традиционные средства вывода геометрических примитивов (линий, дуг, многоугольников) и текстов также имеются в этих системах.

Сегодня наиболее развитые проекты РЕХ и OpenGLнеплохо совмещают основные достижения как геометрического, так и растрового направления.