
- •Введение
- •1. Модели. Элементы моделей
- •2. Построение кривых
- •3. Построение поверхностей
- •4. Типы моделей
- •5. Полигональные сетки
- •6. Описание геометрических форм
- •6.1. Описание поверхностей. Параметрическое описание поверхностей
- •Эллипсоид
- •Xacoscos,
- •Общие случаи нормали к поверхности
- •Описание поверхностей неявными функциями
- •6.2. Поточечное описание поверхностей.
- •6.3. Синтез изображений методом обратной трассировки лучей
- •Система координат, применяемая в методе обратной трассировки лучей
- •6.4. Способы представления моделей геометрических объектов
- •6.5. Кривые и поверхности nurbs
- •7. Структура твердотельной модели
- •8. Синтез твердого тела по процедурному описанию
- •8.1 Векторная полигональная модель
- •8.2. Воксельная модель
- •8.3. Равномерная сетка
- •8.4. Неравномерная сетка. Изолинии
- •9. Преобразование моделей описания поверхности
- •10. Понятие кубических сплайнов
- •11. Интерполяция b-сплайнами
- •12. Выпуклые оболочки
- •Основные понятия и идеи
- •12.1. Метод обхода грэхема
- •12.2. Обход методом джарвиса
- •13. Геометрмческое моделирование криволинейных объек тов с использованием барицентрических координат
- •13.1. Линейная интерполяция и барицентрические координаты
- •13.1.1. Барицентрические координаты на прямой
- •13.1.2. Барицентрические координаты на плоскости
- •13.1.3. Барицентрические координаты в пространстве
- •13.2. Метод определения точек, инцидентных треугольной порции поверхности, по заданным локальным координатам
- •13.2.1. Алгоритм задания квадратичной параболы
- •13.2.2. Анализ алгоритма кастельжо для произвольной кривой
- •13.2.3. Обобщённый алгоритм для треугольной порции поверхности
- •13.3. Аппроксимация поверхностей обобщенными полиномами бернштейна
- •13.3.1. Свойства треугольной порции поверхности безье
- •13.3.2. Свойства обобщенных полиномов бернштейна
- •14. Особенности аппроксимации обводов параметрическими полиномами в форме бернштейна
- •14.1. Методы полиномиальной аппроксимации одномерных обводов
- •14.1.1. Общая постановка задачи аппроксимации дискретного набора данных
- •14.1.2. Аппроксимация обводов параметрическими полиномами
- •14.1.3. Аппроксимация обводов параметрическими полиномами бернштейна
- •14.2. Геометрические свойства производных полиномов бернштейна
- •14.2.1. Вычисление первой производной
- •14.2.2. Вычисление производных высшего порядка
- •14.3. Методы полиномиальной аппроксимации двумерных обводов
- •Метод тензорного произведения
- •Каркасный метод
- •14.3.3. Метод булевой суммы (поверхности Кунса)
- •15. Стандарты в графических системах сапр и современные растровые графические файлы
- •15.1. Графические системы класса 2d
- •15.2. Графические системы класса 3d
- •15.3. Стандарты обмена данными
- •16. Системы подготовки и выпуска конструкторско-технологической документации. Организация конструкторской подготовки производства
- •17. Графические диалоговые системы
- •17.1. Краткий обзор зарубежных cad-систем
- •Технологические модули в pt/Products. Интеграция процессов проектирования и изготовления
- •Работа со стандартными библиотеками посредством pt/LibraryAccess и pt/Library
- •17.2. Отечественные разработки
- •Компас 5
- •T-flex cad
- •Заключение
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
14.2. Геометрические свойства производных полиномов бернштейна
14.2.1. Вычисление первой производной
Возьмем
производную полинома Бернштейна
-го
порядка:
Таким образом, окончательно получаем формулу для вычисления первой производной полиномов Бернштейна:
|
( 13 ) |
Тогда для кривой Безье формула первой производной имеет вид
.
Так как
для
,
то
и
.
Окончательно получаем формулу для вычисления первой производной кривой Безье:
.
Форму записи
последней формулы можно упростить, если
использовать оператор разности
:
|
( 14 ) |
Тогда формула первой производной принимает вид
|
( 15 ) |
С
геометрической точки зрения, производной
кривой Безье является другая кривая
Безье
,
векторы управляющих точек которой
определяются вычислением разностей
векторов управляющих точек исходной кривой.
Кривая первой производной
иногда
называется первым годографом кривой
Безье. Векторы характеристической
ломаной годографа определяются следующим
образом (см.рис.
14.2):
.
Начальный
вектор
выбирается
произвольно, в ряде случаев удобно
выбрать
.
Рис. 14.2. Кубическая кривая Безье и ее первый годограф
14.2.2. Вычисление производных высшего порядка
Так
же, как и для случая первой производной,
введем итерационный оператор разностей
, определяемый
с помощью выражения
|
( 16 ) |
Пример
.
Стоящие в правой части выражения ( 16 ) члены представляют собой биномиальные коэффициенты, которые представляются в общем виде с помощью выражения
|
( 17 ) |
Тогда формула для вычисления
-ой
производной кривой Безье запишется как
|
( 18 ) |
Доказательство формулы ( 18 ) очевидно и вытекает из многократного дифференцирования ( 15 ).
Запишем
два важных частных случая формулы ( 18 )
для
и
:
|
( 19 ) |
и
|
( 20 ) |
Следовательно,
-ая
производная кривой Безье в крайних
точках дуги зависит только от
ближайших управляющих
точек, включая саму крайнюю точку. Для
очевидно,
что векторы
и
определяют
касательную в точке с параметром
.
В общем случае касательная в точке
определяется
вектором
и
первым вектором
, отличным
от
.
Таким образом, касательная в точке
может
быть определена даже в том случае, если
касательный вектор равен нулю. Для
другого конца дуги
рассуждения
аналогичны. Нарис.
14.3
показаны примеры определения векторов
первой и второй производных в начальной
точке дуги кривой .
Рис. 14.3. - Определение векторов первой и второй производных
14.3. Методы полиномиальной аппроксимации двумерных обводов
Вышерассмотренные методы достаточно просто обобщаются на случай аппроксимации двумерных обводов. Для конструирования криволинейных поверхностей с помощью стандартных параметрических полиномов, полиномов Бернштейна и NURBS в современных системах геометрического моделирования применяют три основных метода:
тензорного произведения (tensor product surfaces);
каркасный (lofting surfaces);
булевой суммы (transfinite method).
Рассмотрим возможности этих методов, взяв в качестве базового геометрического описания рациональные параметрические кривые Безье (частный случай NURBS).