13. Геометрмческое моделирование криволинейных объек тов с использованием барицентрических координат

В CAD/CAM/CAE-системах всех уровней сложности геометрическое моделирование технических объектов, компьютерное решение геометрических и графических задач занимают центральное место. При создании реального объекта в первую очередь формируется геометрия этого объекта, его составных частей, после этого решаются другие задачи проектирования, технологии и изготовления. Проблемам геометрического моделирования, в том числе самому новейшему его направлению - объемному твердотельному моделированию, посвящено значительное число исследований.

Многообразие постановок задач твердотельного моделирования в практике современного проектирования технических и других объектов сложной формы требует разработки методов и алгоритмов формирования геометрических моделей одно- и двумерных обводов, во-первых, наиболее приспособленных для использования в твердотельном моделировании и, во-вторых, использующих стандартный для современных систем математический аппарат.

Как известно, в настоящее время для CAD/CAM/CAE систем высшего и среднего уровня, а также для коммерческих, внутренних производственных приложений и приложений для обмена данными промышленным стандартом становится геометрическое ядро Parasolid компании Unigraphics Solutions Inc., в основу которого положена теория неоднородных рациональных В-сплайнов (NURBS) и кривых Безье.

Данный программный продукт лицензирован для разработчиков CAD/CAM/CAE систем, включая такие известные фирмы, как Bentley Systems, Solid Edge, CADMAX, Fujitsu, SolidWorks, Topcad, Vero International, MacNeal-Schwendler, Mechanical Dynamics и другие.  Parasolid также широко используется машиностроительными компаниями для разработки специальных внутренних приложений. Среди самых известных пользователей отметим компании Boeing, General Electric, GM Research Labs, Israel Aircraft Industries, Mitsubishi Motors, Pratt & Whitney. Общий формат представления внутримашинной информации в этом геометрическом ядре обеспечивает единство данных между подобными приложениями и коммерческими системами, подобными Unigraphics и Solid Edge. Тот факт, что в настоящее время на ядре Parasolid работает 200 тысяч пользователей (а в 2000 году ожидается полмиллиона), позволяет заявлять о нем как о наиболее передовом и предпочтительном программном средстве геометрического представления трехмерных данных .

В процессе геометрического моделирования объектов сложной формы в системах на основе Parasolid используются два подхода. Первый подход связан с методами точного аналитического описания кривых и поверхностей, ограничивающих тело; во втором подходе применяются приближенные методы интерполяции и аппроксимации.

Однако для произвольно расположенных точек в случае функции нескольких переменных не существует общей теории интерполяции. Для решения подобных задач всегда вводят разного рода ограничения или налагают дополнительные условия на геометрическое расположение точек. Типичным подходом для решения задач интерполяции является, как было отмечено, использование кусочно-полиномиальных функций (промышленным стандартом являются параметрические функции Бернштейна-Безье) или использование сплайнов (промышленным стандартом являются неоднородные рациональные В-сплайны - NURBS). Ограничивающие конструируемый объект кривые и поверхности в этом случае рассматриваются как множество соединенных между собой элементарных дуг кривых и элементарных кусков (порций) поверхностей, т.е. как одно- и двумерные обводы.

В прикладной геометрии всегда предпринимались попытки разработать методы описания сложных криволинейных поверхностей, аналогичные методам декартова произведения и булевой суммы (поверхности Гордона и Кунса), но для треугольных порций поверхностей [1, 2, 5]. Это связано в первую очередь с тем, что основным преимуществом интерполяции на треугольниках является существенное упрощение расчетов из-за сведения двумерной задачи к одномерной. Кроме этого при использовании таких методов возможна интеграция с криволинейными конечными элементами с сохранением необходимых свойств.

Рассмотрим один из методов геометрического моделирования сложных криволинейных объектов на основе использования барицентрических координат.