14. Особенности аппроксимации обводов параметрическими полиномами в форме бернштейна

Для геометрического ядра современных CAD/CAM/CAE-систем характерна интеграция методов твердотельного моделирования трехмерных объектов и традиционных методов математического моделирования сложных криволинейных поверхностей. В процессе геометрического моделирования объектов сложной формы используются два подхода. Первый подход связан с методами точного аналитического описания кривых и поверхностей, ограничивающих тело; во втором подходе применяются приближенные методы интерполяции и аппроксимации, среди которых наибольшее распространение получили кусочные модели. Ограничивающие конструируемый объект кривые и поверхности в этом случае рассматриваются как множество соединенных между собой элементарных дуг кривых и элементарных кусков (порций) поверхностей, т.е. одно- и двумерные обводы.

Широкое применение кусочных методов формирования криволинейных обводов в твердотельном моделировании объектов технологически сложных отраслей промышленности (авиа- и судостроение, автомобилестроение и др.) объясняется целым рядом их замечательных особенностей.

Во-первых, сконструированные кривые и поверхности практически всегда удовлетворяют свойствам действительного  трехмерного объекта, например, проходят через заданные точки, имеют заданные наклоны и др. Кусочные функции, описывающие эти кривые и поверхности, как правило, многократно дифференцируемы, и их производные удовлетворяют критериям непрерывности.

Во-вторых, процесс конструирования криволинейных обводов может быть интерактивным и выполняться итерационно. Геометрическую модель, полученную на некотором шаге итерации, модифицируют до достижения желаемой формы.

В-третьих, полученные геометрические модели трехмерных объектов возможно использовать не только для их визуализации и последующей оценки свойств формы, но и для разработки технологического процесса изготовления и др. Форма технического объекта в первую очередь обусловлена его функциональным назначением, кроме этого в ряде случаев она должна удовлетворять и эстетическим требованиям. Например, в авиастроении важным критерием выбора параметров внешнего обвода ЛА являются его аэродинамические характеристики. В судостроении при моделировании обводов судна, гребного винта таким критерием являются гидродинамические характеристики. В автомобилестроении - аэродинамические и эстетические характеристики.

В связи с этим сформулируем основные требования, предъявляемые к методам конструирования криволинейных обводов для обеспечения интеграции с методами твердотельного моделирования:

1. Одним из основных является требование получения заданной формы геометрического объекта с использованием  минимального количества параметров. При этом предполагается, что часть из них является обязательными, а другие параметры влияют на точность описания. Желательно, чтобы конструктор имел возможность задавать эти параметры в графическом виде. Выбираемый класс кривых или поверхностей должен описываться достаточно просто (лучше в параметрическом виде). Кривые и поверхности выбранного класса должны быть гладкими (быть непрерывными вместе с производными на заданном интервале), т.е. не рваться, иметь непрерывно изменяющуюся касательную, непрерывные кривизну и кручение (для пространственных обводов), что обеспечивает гладкую стыковку участков обвода.

2. В методах должны использоваться "несложные" алгоритмы глобальной и локальной модификации формы обводов. Как для одномерных, так и для двумерных обводов локальная модификация должна допускать изменение формы участка или всего обвода в целом. При этом необходимо использовать алгоритмы вычисления небольшого количества контрольных точек, определяющих форму обвода.

3. Обеспечение качества аппроксимации. Сконструированные криволинейные обводы должны "вести себя" предсказуемо для достаточно больших массивов точек:

• осцилляции не должны превышать заданных значений;

• особые точки должны легко определяться;

• используемые при описании обводов функции должны допускать операцию многократного дифференцирования.

4. Возможность построения аналитически простых кривых и поверхностей (в частности прямых линий и плоскостей), а также возможность решения позиционных и метрических задач с помощью устойчивых вычислительных процедур.

5. Для обеспечения возможности применения аффинных и проективных преобразований сконструированные криволинейные обводы должны обладать свойством аффинной и проективной инвариантности. Аффинные преобразования включают в себя вращение, растяжение, сжатие, параллельный перенос и их возможные комбинации. К проективным преобразованиям относят также построение перспективы. К снижению вычислительных затрат ведет следующая последовательность операций. Сначала преобразуется какой-либо набор параметров, определяющих форму обвода (например массив управляющих точек Безье), затем - производится вычисление точек (построение) самого обвода.

6. Возможность применения стандартных методов визуализации.

Перечисленным требованиям в большей степени удовлетворяют параметрические полиномиальные функции и рациональные параметрические функции. Обобщение методов Безье и B-сплайнов в начале 70-х годов позволило получить одно из мощнейших и универсальных средств геометрического моделирования криволинейных обводов - NURBS-технологию.